题目
30.设A为n阶矩阵(n≥2)，A^*为A的伴随矩阵，证明R(A^*)=}n,&当R(A)=n,1,&当R(A)=n-1,0,&当R(A)leqslant n-2.
30.设A为n阶矩阵(n≥2)，$A^{*}$为A的伴随矩阵，证明
$R(A^{*})=\begin{cases}n,&当R(A)=n,\\1,&当R(A)=n-1,\\0,&当R(A)\leqslant n-2.\end{cases}$
题目解答
答案
**证明：**
1. **当 $R(A) = n$ 时：**
$A$ 可逆，$|A| \neq 0$。由 $AA^* = |A|E$，两边除以 $|A|$ 得 $A\left(\frac{1}{|A|}A^*\right) = E$，故 $A^*$ 可逆，$R(A^*) = n$。
2. **当 $R(A) = n-1$ 时：**
$|A| = 0$，则 $AA^* = 0$。$A$ 的秩为 $n-1$，齐次方程 $Ax = 0$ 基础解系含1个向量，故 $R(A^*) \leq 1$。又 $A$ 有非零的 $n-1$ 阶子式，$A^* \neq 0$，从而 $R(A^*) = 1$。
3. **当 $R(A) \leq n-2$ 时：**
$A$ 的所有 $n-1$ 阶子式为零，$A^* = 0$，故 $R(A^*) = 0$。
**结论：**
$$
R(A^*) = \begin{cases}
n, & R(A) = n, \\
1, & R(A) = n-1, \\
0, & R(A) \leq n-2.
\end{cases}
$$
解析
步骤 1：当 $R(A) = n$ 时
$A$ 可逆，$|A| \neq 0$。由 $AA^* = |A|E$，两边除以 $|A|$ 得 $A\left(\frac{1}{|A|}A^*\right) = E$，故 $A^*$ 可逆，$R(A^*) = n$。
步骤 2：当 $R(A) = n-1$ 时
$|A| = 0$，则 $AA^* = 0$。$A$ 的秩为 $n-1$，齐次方程 $Ax = 0$ 基础解系含1个向量，故 $R(A^*) \leq 1$。又 $A$ 有非零的 $n-1$ 阶子式，$A^* \neq 0$，从而 $R(A^*) = 1$。
步骤 3：当 $R(A) \leq n-2$ 时
$A$ 的所有 $n-1$ 阶子式为零，$A^* = 0$，故 $R(A^*) = 0$。
$A$ 可逆，$|A| \neq 0$。由 $AA^* = |A|E$，两边除以 $|A|$ 得 $A\left(\frac{1}{|A|}A^*\right) = E$，故 $A^*$ 可逆，$R(A^*) = n$。
步骤 2：当 $R(A) = n-1$ 时
$|A| = 0$，则 $AA^* = 0$。$A$ 的秩为 $n-1$，齐次方程 $Ax = 0$ 基础解系含1个向量，故 $R(A^*) \leq 1$。又 $A$ 有非零的 $n-1$ 阶子式，$A^* \neq 0$，从而 $R(A^*) = 1$。
步骤 3：当 $R(A) \leq n-2$ 时
$A$ 的所有 $n-1$ 阶子式为零，$A^* = 0$，故 $R(A^*) = 0$。