例5 已知随机事件A,B满足条件 (ABcup overline (A)overline (B))=0, 则有-|||-(A)A,B为对立事件. (B)A,B互斥,但不对立.-|||-(C) (A)=P(B). (D) (A)=P(overline (B)).

考查要点：本题主要考查事件的概率运算、互斥事件、对立事件的关系，以及概率公式的灵活运用。

解题核心思路：

1. 分解条件：题目给出 $P(AB \cup \overline{A}\overline{B})=0$，需拆解为 $P(AB)=0$ 和 $P(\overline{A}\overline{B})=0$。
2. 分析事件关系：
   • $P(AB)=0$ 说明事件 $A$ 和 $B$ 互斥（交集概率为0）。
   • $P(\overline{A}\overline{B})=0$ 说明 $A \cup B$ 是必然事件（概率为1）。
3. 推导概率关系：结合互斥和覆盖整个样本空间的条件，得出 $P(A) + P(B) = 1$，进而得到 $P(A) = P(\overline{B})$。

破题关键点：

• 互斥且并集为必然事件是解题的核心突破口，需联立两个条件推导概率关系。

条件拆解：
由 $P(AB \cup \overline{A}\overline{B})=0$，可知：

1. $P(AB) = 0$（事件 $A$ 和 $B$ 互斥）。
2. $P(\overline{A}\overline{B}) = 0$（事件 $A \cup B$ 是必然事件，即 $P(A \cup B) = 1$）。

推导过程：

1. 互斥性：$P(AB) = 0$ 说明 $A$ 和 $B$ 互斥，因此 $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$。
2. 必然事件：由 $P(A \cup B) = 1$，得 $P(A) + P(B) = 1$。
3. 概率关系：
   • $P(B) = 1 - P(A)$，
   • $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = P(A)$。

结论：$P(A) = P(\overline{B})$，故选项 (D) 正确。