题目
7.lim_(xtoinfty)(3x^4+4x-9)/(2x^9)+8x^(2+1)
7.$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{4}+4x-9}{2x^{9}+8x^{2}+1}$
题目解答
答案
为了求解极限 $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{4}+4x-9}{2x^{9}+8x^{2}+1}$，我们可以通过将分子和分母同时除以 $x^9$ 来简化表达式。这样做的目的是使分子和分母中的最高次项变为常数，从而更容易求解极限。
首先，将分子和分母同时除以 $x^9$：
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{4}+4x-9}{2x^{9}+8x^{2}+1} = \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{3x^4}{x^9} + \frac{4x}{x^9} - \frac{9}{x^9}}{\frac{2x^9}{x^9} + \frac{8x^2}{x^9} + \frac{1}{x^9}}
\]
简化每个项，我们得到：
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{-5} + 4x^{-8} - 9x^{-9}}{2 + 8x^{-7} + x^{-9}}
\]
当 $x$ 趋于无穷大时， $x^{-5}$, $x^{-8}$, $x^{-9}$, $x^{-7}$ 和 $x^{-9}$ 都趋于 0。因此，极限变为：
\[
\frac{0 + 0 - 0}{2 + 0 + 0} = \frac{0}{2} = 0
\]
所以，极限 $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{4}+4x-9}{2x^{9}+8x^{2}+1}$ 的值是 $\boxed{0}$。
解析
考查要点：本题主要考查分式函数在无穷远处的极限的求解方法，重点在于理解最高次项对极限的影响。
解题核心思路：
当$x \to \infty$时，分式的极限由分子和分母的最高次项的次数及系数决定。若分母的最高次数高于分子，则极限为$0$；若次数相等，则极限为最高次项系数之比；若分子次数更高，则极限为$\infty$或$-\infty$。
破题关键点：
- 比较分子和分母的最高次数：分子最高次为$x^4$，分母为$x^9$，分母次数更高。
- 通过变形简化表达式：将分子和分母同时除以分母的最高次项$x^9$，使各项转化为$x$的负次幂，便于求极限。
步骤1：将分子和分母同时除以$x^9$
原式变形为：
$\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{3x^4}{x^9} + \frac{4x}{x^9} - \frac{9}{x^9}}{\frac{2x^9}{x^9} + \frac{8x^2}{x^9} + \frac{1}{x^9}} = \lim_{x\to\infty}\frac{3x^{-5} + 4x^{-8} - 9x^{-9}}{2 + 8x^{-7} + x^{-9}}$
步骤2：分析各分项的极限
当$x \to \infty$时，所有负次幂项（如$x^{-5}$、$x^{-8}$等）均趋近于$0$，因此分子整体趋近于$0$，分母趋近于$2$。
步骤3：计算最终极限
$\frac{0 + 0 - 0}{2 + 0 + 0} = \frac{0}{2} = 0$