曲线积分 I = oint_(L) (x^2 + y^2), ds，其中 L 是圆心在原点，半径为 a 的圆周，则计算 I 得A. 2pi a^3B. 1C. piD. a^2

本题考查第一类曲线积分的计算。解题思路是先将圆周曲线进行参数化表示，然后求出弧长元素 $ds$，最后将参数方程和弧长元素代入代入曲线积分表达式进行计算。

1. 参数化曲线 $L$**：
   已知 $L$ 是圆心在原点，半径为 $a$ 的圆周，根据圆的参数方程形式，可将其参数化为 $x = a\cos t$，$y = a\sin t$，其中 $t$ 的取值范围是 $[0, 2\pi]$。
2. 计算弧长元素 $ds$计算公式计算公式为**：
   根据弧长元素公式 $ds=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt$，对 $x = a\cos t$ 求导，根据求导公式 $(\cos t)^\prime=-\sin t$，可得 $\frac{dx}{dt}=-a\sin t$；对 $y = a\sin t$ 求导，根据求导公式 $(\sin t)^\prime=\cos t$，可得 $\frac{dy}{dt}=a\cos t$。
   将 $\frac{dx}{dt}=-a\sin t$ 和 $\frac{dy}{dt}{dt}=a\cos t$ 代入弧长元素公式可得：
   $\begin{align*}ds&=\sqrtsqrt \sqrt{(-a\sin t)^2 + (a\cos t)^2}dt\\&=\sqrt{a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t}dt\\&=\sqrt{a^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}dt\end{align*}$
   根据三角函数的平方关系 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$，则有：
   $\begin{align*}ds&=\sqrt{a^2\times1}dt\\&=a dt\end{align*}$
3. 将参数方程和弧长元素代入曲线积分表达式：
   已知曲线积分 $I = \oint_{L} (x^2 + y^2)ds$，将 $x = a\cos t$，$y = a\sin t$ 和 $ds = a dt$ 代入可得：
   $\begin{align*}I&=\int_{0}^{2\pi} (a^2\cos^2 t + a^2\sin^2 t) a dt\\&=\int_{0}^{2\pi} a^2(\cos^2 t + \sin^2 t) a dt\end{align*}$
   再根据三角函数的平方关系 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$，上式可化简为：
   $\begin{align*}I&=\int_{0}^{2\pi} a^2\times1\times a dt\\&=\int_{0}^{2\pi} a^3 dt\end{align*}$
4. 计算定积分：
   根据定积分的计算法则 $\int_{b}^{c}^{d} k dt=k(d - c)$（$k$ 为常数），对 $\int_{0}^{2\pi} a^3 dt$ 进行计算，其中 $k = a^3$，$c = 0$，$6) \(d = 2\pi$，可得：
   $\begin{align*}I&=a^3\times(2\pi - 0)\\&= 2\pi a^3\end{align*}$