3. (5.0分) sum_(n=1)^infty(-1)^n-1(1)/(n^p)在01时为____收敛. (填条件或绝对)

为了确定级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{p}}$的收敛性，我们需要分析级数在不同$p$值下的行为。具体来说，我们需要检查级数在$0 < p \leq 1$和$p > 1$时是条件收敛还是绝对收敛。 ### 第一步：绝对收敛 一个级数$\sum a_n$如果级数$\sum |a_n|$收敛，则绝对收敛。对于给定的级数，$a_n = (-1)^{n-1}\frac{1}{n^p}$，绝对值为 $|a_n| = \frac{1}{n^p}$。因此，我们需要检查级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$的收敛性。 级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$是一个$p$-级数，它在$p > 1$时收敛，在$p \leq 1$时发散。因此，级数$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n^p}$在$p > 1$时绝对收敛，在$0 < p \leq 1$时不是绝对收敛。 ### 第二步：条件收敛 一个级数如果收敛但不绝对收敛，则条件收敛。我们已经知道级数在$p > 1$时绝对收敛，所以我们只需要检查级数在$0 < p \leq 1$时是否收敛。 对于$0 < p \leq 1$，我们可以使用交错级数测试。交错级数测试指出，级数$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n$如果满足以下条件则收敛： 1. $b_n = \frac{1}{n^p}$是正数。 2. $b_n$是递减的。 3. $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$。 对于$b_n = \frac{1}{n^p}$与$0 < p \leq 1$： 1. $b_n$是正数。 2. $b_n$是递减的，因为$\frac{1}{n^p}$随着$n$的增加而减少。 3. $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p} = 0$。 由于所有条件都满足，级数$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n^p}$在$0 < p \leq 1$时收敛。然而，由于它在$0 < p \leq 1$时不是绝对收敛，它在该区间内条件收敛。 ### 结论 级数$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n^p}$在$0 < p \leq 1$时条件收敛，在$p > 1$时绝对收敛。 最终答案是： \[ \boxed{\text{条件, 绝对}} \]