题目
例19 计算广义积分0 1+x^2
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分类型
广义积分 ${\int }_{0}^{+\infty }\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx$ 是一个无穷限积分，需要通过极限来求解。
步骤 2：求解不定积分
首先求解不定积分 ${\int }\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx$。由于 $\dfrac {1}{1+{x}^{2}}$ 是 $\arctan(x)$ 的导数，所以不定积分结果为 $\arctan(x) + C$。
步骤 3：应用无穷限积分的定义
根据无穷限积分的定义，${\int }_{0}^{+\infty }\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx = \lim_{b \to +\infty} {\int }_{0}^{b}\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx$。将步骤 2 中的不定积分结果代入，得到 $\lim_{b \to +\infty} [\arctan(b) - \arctan(0)]$。
步骤 4：计算极限
$\lim_{b \to +\infty} [\arctan(b) - \arctan(0)] = \lim_{b \to +\infty} \arctan(b) - \arctan(0) = \dfrac {\pi }{2} - 0 = \dfrac {\pi }{2}$。
广义积分 ${\int }_{0}^{+\infty }\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx$ 是一个无穷限积分，需要通过极限来求解。
步骤 2：求解不定积分
首先求解不定积分 ${\int }\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx$。由于 $\dfrac {1}{1+{x}^{2}}$ 是 $\arctan(x)$ 的导数，所以不定积分结果为 $\arctan(x) + C$。
步骤 3：应用无穷限积分的定义
根据无穷限积分的定义，${\int }_{0}^{+\infty }\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx = \lim_{b \to +\infty} {\int }_{0}^{b}\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx$。将步骤 2 中的不定积分结果代入，得到 $\lim_{b \to +\infty} [\arctan(b) - \arctan(0)]$。
步骤 4：计算极限
$\lim_{b \to +\infty} [\arctan(b) - \arctan(0)] = \lim_{b \to +\infty} \arctan(b) - \arctan(0) = \dfrac {\pi }{2} - 0 = \dfrac {\pi }{2}$。