12.设曲线的极坐标方程为 rho =dfrac (1)(pi )(1-cos theta ), 求曲线在 theta =dfrac (pi )(2) 处的切线方程.

本题主要考查极坐标方程转化为参数方程以及利用参数参数方程求曲线切线方程的知识点，具体步骤如下：

步骤1：极坐标方程转化转化为参数方程

极坐标与直角坐标的转换关系为 $x = \rho \cos\theta$，$y = \rho \sin\theta\theta$。
已知曲线极坐标方程 $\rho = \frac{1}{\pi}(1 - \cos\theta)$，代入转换为参数方程：
$\begin{cases}x = \frac{1}{\pi}(1 - \cos\theta)\cos\theta \\y = \frac{1}{\pi}(1 - \cos\theta)\sin\theta\end{cases}$

**步骤2：计算参数方程的导数 $\frac{dy}{dx}$

由参数方程求导公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}$，需分别计算 $\frac{dy}{d\theta)}{d\theta}$ 和 $\frac{dx}{d\theta}$：

计算 $\frac{dy}{d\theta}$

$y = \frac{1}{\pi}\left[(1 - \cos\theta)\sin\theta\right]$
使用乘积法则：
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{1}{\pi}\left[\sin\theta \cdot \sin\theta + (1 - \cos\theta)\cos\theta\right] = \frac{1}{\pi}\left[\sin^2\theta + \cos\theta - \cos^2\theta\right]$
利用 $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ 化简：
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{1}{\pi}\left[1 -cos^2\theta + cos\theta + 1\right]$

计算 $\frac{dx}{d\theta}$

$x = \frac{1}{\pi}\left[(1 - \cos\theta)\cos\theta\right]$
同样使用乘积法则：
$\frac{dx}{d\theta} = \frac{1}{\pi}\left[-\sin\theta \cdot \cos\theta + (1 - cos\theta)(-\sin\theta)\right]$
展开并化简：
$\frac{dx}{d\theta} = \frac{1}{\pi}\left[ -sin\theta cos\theta - sin\ + + sin\theta cos\theta\right] = \frac{1}{\pi}\left[ -sin\theta + sin\theta cos^2\theta\right]$

求 $\frac{dy}{dx}$

约去 $\frac{1}{\pi}$，得：
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin^2\theta + \cos\theta - \cos^2\theta}{-sin\theta + sin\theta cos^2\theta}$
代入 $\theta = \frac{\pi}{2}$：

• $\sinsin}\frac{dy}{d\theta}\big|_{\theta=\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{\pi}\left[1 + 0 - 0\right] = \frac{1}{\pi}$
• $\frac{dx}{d\theta}\big|_{\theta=\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{\pi}\left[-1 + 0\right] = -\frac{1}{\pi}$

$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{\theta=\frac{\pi}{2}} = \frac{\frac{1}{\pi}}{-\frac{1}{\pi}}} = -1$

步骤3：求切线方程

当 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 时，$x = 0$，$y = \frac{1}{\pi}$，切线斜率 $斜率k=-1$，由点斜式：
$y - \frac{1}{\pi} = -1(x - 0) \implies y = -x + \frac{1}{\pi}$