题目

一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布，则某一分钟的呼叫次数大于3的概率为 1-(71)/(3)e^-3().√×

一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布，则某一分钟的呼叫次数大于3的概率为$ 1-\frac{71}{3}e^{-3}()$. √ ×

题目解答

答案

根据泊松分布公式，参数 $\lambda = 4$，计算 $P(X \leq 3)$： \[ P(X \leq 3) = \sum_{k=0}^{3} \frac{4^k e^{-4}}{k!} = e^{-4} \left(1 + 4 + 8 + \frac{32}{3}\right) = \frac{71}{3} e^{-4} \] 则 \[ P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3) = 1 - \frac{71}{3} e^{-4} \] 与题目给定表达式 $1 - \frac{71}{3} e^{-3}$ 不符，故答案为： \[ \boxed{\times} \]

解析

本题考查泊松分布的概率计算。解题思路是先明确泊松分布的概率公式，再根据题目要求计算某一分钟呼叫次数大于$3$的概率，最后与题目给定的表达式进行对比判断对错。

  1. 明确泊松分布的概率公式：
    若随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记为$X\sim P(\lambda)$，其概率质量函数为$P(X = k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$，其中$k = 0,1,2,\cdots$，$\lambda\gt0$。本题中$\lambda = 4$。
  2. 计算$P(X\leq3)$：
    根据概率的可加性，$P(X\leq3)=P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3)$。
    • 当$k = 0$时，$P(X = 0)=\frac{4^{0}e^{-4}}{0!}=e^{-4}$。
    • 当$k = 1$时，$P(X = 1)=\frac{4^{1}e^{-4}}{1!}=4e^{-4}$。
    • 当$k = 2$时，$P(X = 2)=\frac{4^{2}e^{-4}}{2!}=\frac{16e^{-4}}{2}=8e^{-4}$。
    • 当$k = 3$时，$P(X = 3)=\frac{4^{3}e^{-4}}{3!}=\frac{64e^{-4}}{6}=\frac{32}{3}e^{-4}$。
      将上述结果相加可得：
      $P(X\leq3)=e^{-4}+4e^{-4}+8e^{-4}+\frac{32}{3}e^{-4}=e^{-4}\left(1 + 4 + 8 + \frac{32}{3}\right)$
      $=e^{-4}\left(\frac{3 + 12 + 24 + 32}{3}\right)=\frac{71}{3}e^{-4}$
  3. 计算$P(X\gt3)$：
    因为$P(X\gt3)=1 - P(X\leq3)$，把$P(X\leq3)=\frac{71}{3}e^{-4}$代入可得：
    $P(X\gt3)=1 - \frac{71}{3}e^{-4}$
  4. 对比判断：
    题目给定的表达式为$1 - \frac{71}{3}e^{-3}$，与我们计算得到的$1 - \frac{71}{3}e^{-4}$不符，所以该说法错误。