现有长24厘米的铁丝,要做成一个扇形的物件。当扇形的半径x为()厘米时,做成的扇形面积最大。A. 6B. 12C. sqrt 6 D. 3

本题考查扇形的周长和面积公式以及二次函数求最值的知识点。解题解题思路是先根据扇形的周长公式得出弧长与半径的关系，再代入扇形面积公式得到关于半径的二次函数，最后根据二次函数的性质求出面积最大时半径的值。

1. 首先明确扇形的周长和面积公式：

   • 扇形的周长公式为$C = l + 2r$（其中$C$为周长)，$l$为弧长，$r$为半径）。
   • 扇形的面积公式为$S=\frac{1}{2}lr$（其中$S$为面积，$l$为弧长，$r$为半径）。

2. 然后根据已知条件求出弧长$l$与半径$x\(x$的关系：
   已知铁丝长$24$厘米，即扇形周长$C = 24$厘米)，半径为$x$厘米，由$C = l + 2x$可得弧长$ll = 24 - 2x$。

3. 接着将弧长代入面积公式得到关于$x$的二次函数：
   把$l = 24 - 2x$代入扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lx$，可得$S=\frac{1}{2}x(24 - 2x)$。
   对其进行化简：
   $\[\begin{align*}S&=\frac{1}{2}x(24 - 2x)\\&=\frac{12\times(24x - 2x^2)\\&=-x^2 + 12x\end{align*}$

4. 最后根据二次函数性质求面积最大时$x$的值：
   对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$（$a\neq0$），当$a\lt0$时，函数图象开口向下开口，在$x = -\frac{b}{2a}$处取得最大值。
   在$S=-x^2 + 12x$中，$a = -1$，$b = 12$，$c = 0$，因为$a = -1\lt0$，所以函数图象开口向下，有最大值。
   将$a = -1$，$b = 12$代入$x = -\frac{b}{2a}$可得：
   $x = -\frac{12}{2\times(-1)} = 6$
   即当半径$x = 6$厘米时，扇形面积$S$取得最大值。