题目
计算题3.13图所示系统中物体的加速度.设滑轮为质量均匀分布的圆柱体,其质量为-|||-M,半径为r,在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转,忽略桌面与物体间的摩擦,设 _(1)=50-|||-kg, _(2)=200kg =15kg, r=0.1m-|||-m 2-|||-M-|||-m2-|||-(a)-|||-题3.13(a)图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定物体的受力情况
物体 ${m}_{1}$ 和 ${m}_{2}$ 受到重力和绳子的拉力作用，滑轮受到绳子的拉力作用。忽略桌面与物体间的摩擦，只考虑重力和绳子的拉力。
步骤 2：列出物体 ${m}_{1}$ 和 ${m}_{2}$ 的牛顿第二定律方程
对于物体 ${m}_{1}$，有 ${T}_{1}={m}_{1}a$，其中 ${T}_{1}$ 是绳子对 ${m}_{1}$ 的拉力，$a$ 是物体的加速度。
对于物体 ${m}_{2}$，有 ${m}_{2}g-{T}_{2}={m}_{2}a$，其中 ${T}_{2}$ 是绳子对 ${m}_{2}$ 的拉力，$g$ 是重力加速度。
步骤 3：列出滑轮的转动定律方程
滑轮的转动惯量为 $I=\dfrac{1}{2}M{r}^{2}$，滑轮受到的合外力矩为 ${T}_{2}r-{T}_{1}r$，根据转动定律，有 ${T}_{2}r-{T}_{1}r=I\beta$，其中 $\beta$ 是滑轮的角加速度，且 $\beta=\dfrac{a}{r}$。
步骤 4：联立方程求解加速度
联立以上方程，可以解出物体的加速度 $a$。
${T}_{1}={m}_{1}a$
${m}_{2}g-{T}_{2}={m}_{2}a$
${T}_{2}r-{T}_{1}r=(\dfrac{1}{2}M{r}^{2})\beta$
$\beta=\dfrac{a}{r}$
将 ${T}_{1}$ 和 ${T}_{2}$ 代入转动定律方程，得到：
${m}_{2}g-{m}_{1}a-(\dfrac{1}{2}M{r}^{2})\dfrac{a}{r}=({m}_{1}+{m}_{2}+\dfrac{1}{2}M)a$
解得：
$a=\dfrac{{m}_{2}g}{{m}_{1}+{m}_{2}+\dfrac{1}{2}M}$
物体 ${m}_{1}$ 和 ${m}_{2}$ 受到重力和绳子的拉力作用，滑轮受到绳子的拉力作用。忽略桌面与物体间的摩擦，只考虑重力和绳子的拉力。
步骤 2：列出物体 ${m}_{1}$ 和 ${m}_{2}$ 的牛顿第二定律方程
对于物体 ${m}_{1}$，有 ${T}_{1}={m}_{1}a$，其中 ${T}_{1}$ 是绳子对 ${m}_{1}$ 的拉力，$a$ 是物体的加速度。
对于物体 ${m}_{2}$，有 ${m}_{2}g-{T}_{2}={m}_{2}a$，其中 ${T}_{2}$ 是绳子对 ${m}_{2}$ 的拉力，$g$ 是重力加速度。
步骤 3：列出滑轮的转动定律方程
滑轮的转动惯量为 $I=\dfrac{1}{2}M{r}^{2}$，滑轮受到的合外力矩为 ${T}_{2}r-{T}_{1}r$，根据转动定律，有 ${T}_{2}r-{T}_{1}r=I\beta$，其中 $\beta$ 是滑轮的角加速度，且 $\beta=\dfrac{a}{r}$。
步骤 4：联立方程求解加速度
联立以上方程，可以解出物体的加速度 $a$。
${T}_{1}={m}_{1}a$
${m}_{2}g-{T}_{2}={m}_{2}a$
${T}_{2}r-{T}_{1}r=(\dfrac{1}{2}M{r}^{2})\beta$
$\beta=\dfrac{a}{r}$
将 ${T}_{1}$ 和 ${T}_{2}$ 代入转动定律方程，得到：
${m}_{2}g-{m}_{1}a-(\dfrac{1}{2}M{r}^{2})\dfrac{a}{r}=({m}_{1}+{m}_{2}+\dfrac{1}{2}M)a$
解得：
$a=\dfrac{{m}_{2}g}{{m}_{1}+{m}_{2}+\dfrac{1}{2}M}$