题目
(4)oint((x+y)dx-(x-y)dy)/(x^2)+y^(2)，其中L为圆周x^2+y^2=a^2（按逆时针方向绕行）；
(4)$\oint\frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^{2}+y^{2}}$，其中L为圆周$x^{2}+y^{2}=a^{2}$（按逆时针方向绕行）；
题目解答
答案
将圆周 $x^2 + y^2 = a^2$ 参数化为 $x = a \cos \theta$，$y = a \sin \theta$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。则 $dx = -a \sin \theta \, d\theta$，$dy = a \cos \theta \, d\theta$。代入原积分并化简：
\[
\oint_L \frac{(x+y)dx - (x-y)dy}{x^2 + y^2} = \frac{1}{a^2} \int_0^{2\pi} \left[ -a^2 \sin^2 \theta - a^2 \cos^2 \theta \right] d\theta = -\int_0^{2\pi} d\theta = -2\pi.
\]
答案：$\boxed{-2\pi}$
解析
步骤 1：参数化圆周
将圆周 $x^2 + y^2 = a^2$ 参数化为 $x = a \cos \theta$，$y = a \sin \theta$，其中 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。这是因为在极坐标系中，圆周上的点可以用角度 $\theta$ 来表示，而 $a$ 是圆的半径。
步骤 2：计算微分
根据参数化，计算 $dx$ 和 $dy$。$dx = -a \sin \theta \, d\theta$，$dy = a \cos \theta \, d\theta$。这是通过直接对参数化方程求导得到的。
步骤 3：代入原积分并化简
将 $x$，$y$，$dx$ 和 $dy$ 的表达式代入原积分 $\oint\frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^{2}+y^{2}}$，并化简。由于 $x^2 + y^2 = a^2$，所以分母可以简化为 $a^2$。代入后得到： \[ \oint_L \frac{(x+y)dx - (x-y)dy}{x^2 + y^2} = \frac{1}{a^2} \int_0^{2\pi} \left[ -a^2 \sin^2 \theta - a^2 \cos^2 \theta \right] d\theta. \] 进一步化简得到： \[ -\int_0^{2\pi} d\theta = -2\pi. \] 这是因为 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$，所以积分中的 $-a^2$ 可以被 $a^2$ 约去，剩下的积分是 $-1$ 对 $\theta$ 的积分，从 $0$ 到 $2\pi$，结果是 $-2\pi$。
将圆周 $x^2 + y^2 = a^2$ 参数化为 $x = a \cos \theta$，$y = a \sin \theta$，其中 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。这是因为在极坐标系中，圆周上的点可以用角度 $\theta$ 来表示，而 $a$ 是圆的半径。
步骤 2：计算微分
根据参数化，计算 $dx$ 和 $dy$。$dx = -a \sin \theta \, d\theta$，$dy = a \cos \theta \, d\theta$。这是通过直接对参数化方程求导得到的。
步骤 3：代入原积分并化简
将 $x$，$y$，$dx$ 和 $dy$ 的表达式代入原积分 $\oint\frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^{2}+y^{2}}$，并化简。由于 $x^2 + y^2 = a^2$，所以分母可以简化为 $a^2$。代入后得到： \[ \oint_L \frac{(x+y)dx - (x-y)dy}{x^2 + y^2} = \frac{1}{a^2} \int_0^{2\pi} \left[ -a^2 \sin^2 \theta - a^2 \cos^2 \theta \right] d\theta. \] 进一步化简得到： \[ -\int_0^{2\pi} d\theta = -2\pi. \] 这是因为 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$，所以积分中的 $-a^2$ 可以被 $a^2$ 约去，剩下的积分是 $-1$ 对 $\theta$ 的积分，从 $0$ 到 $2\pi$，结果是 $-2\pi$。