题目
对于随机变量X，数学期望为μ=3，σ^2=1/25，则p|X-3|<3geq[填空1].
对于随机变量X，数学期望为μ=3，$σ^{2}=1/25$，则
$p\{|X-3|<3\}\geq[填空1]$.
题目解答
答案
由切比雪夫不等式，对于随机变量 $X$，有
\[ P(|X - \mu| \geq \epsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}. \]
给定 $\mu = 3$，$\sigma^2 = \frac{1}{25}$，$\epsilon = 3$，代入得
\[ P(|X - 3| \geq 3) \leq \frac{\frac{1}{25}}{9} = \frac{1}{225}. \]
因此，
\[ P(|X - 3| < 3) \geq 1 - \frac{1}{225} = \frac{224}{225}. \]
答案：$\boxed{\frac{224}{225}}$
解析
考查要点：本题主要考查切比雪夫不等式的应用，要求利用该不等式估计概率的下界。
解题核心思路：
- 切比雪夫不等式的公式形式为：
$P(|X - \mu| \geq \epsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$
其中$\mu$是数学期望，$\sigma^2$是方差，$\epsilon > 0$。 - 题目要求的是$P(|X - 3| < 3)$的下界，需通过补集概率转换：
$P(|X - 3| < 3) = 1 - P(|X - 3| \geq 3)$ - 代入已知条件$\mu = 3$，$\sigma^2 = \frac{1}{25}$，$\epsilon = 3$，即可求解。
破题关键点：
- 正确识别$\epsilon$的取值（本题中$\epsilon = 3$）。
- 灵活运用补集概率将原问题转化为切比雪夫不等式的适用形式。
步骤1：写出切比雪夫不等式
根据切比雪夫不等式：
$P(|X - \mu| \geq \epsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$
步骤2：代入已知条件
已知$\mu = 3$，$\sigma^2 = \frac{1}{25}$，$\epsilon = 3$，代入得：
$P(|X - 3| \geq 3) \leq \frac{\frac{1}{25}}{3^2} = \frac{1}{25 \times 9} = \frac{1}{225}$
步骤3：计算所求概率的下界
原概率可表示为：
$P(|X - 3| < 3) = 1 - P(|X - 3| \geq 3)$
因此：
$P(|X - 3| < 3) \geq 1 - \frac{1}{225} = \frac{224}{225}$