3.计算下列极限:-|||-(1) lim _(xarrow 0)(x)^2sin dfrac (1)(x); ()-|||-__

考查要点：本题主要考查极限的运算法则，特别是涉及有界函数与无穷小量乘积的极限性质。

解题核心思路：
当$x \rightarrow 0$时，$x^2$趋近于$0$，而$\sin \frac{1}{x}$的绝对值始终不超过$1$。利用有界函数与无穷小量的乘积仍是无穷小的性质，可直接得出极限值。

破题关键点：

1. 识别$x^2$是无穷小量（当$x \rightarrow 0$时，$x^2 \rightarrow 0$）。
2. 确认$\sin \frac{1}{x}$是有界函数（$|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$）。
3. 结合两者的乘积性质，直接应用极限法则。

步骤1：分析各部分的极限性质

• 当$x \rightarrow 0$时，$x^2 \rightarrow 0$（无穷小量）。
• $\sin \frac{1}{x}$的取值范围为$[-1, 1]$，即$|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$（有界函数）。

步骤2：应用极限性质
根据有界函数与无穷小量的乘积仍是无穷小的性质，可得：
$\lim_{x \rightarrow 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0.$

步骤3：验证（夹逼定理）
进一步用夹逼定理验证：
$-x^2 \leq x^2 \sin \frac{1}{x} \leq x^2.$
当$x \rightarrow 0$时，两边$x^2 \rightarrow 0$，因此中间表达式也趋近于$0$。