题目

21.已知f(e^x)=x+1，则int(f(x))/(x)dx=____.

21.已知$f(e^{x})=x+1$，则$\int\frac{f(x)}{x}dx=$____.

题目解答

答案

设 $e^x = t$，则 $x = \ln t$，代入已知得 $f(t) = \ln t + 1$。
故 $f(x) = \ln x + 1$（$x > 0$）。
积分变为
$\int \frac{\ln x + 1}{x} \, dx = \int (\ln x + 1) \, d(\ln x) = \frac{\ln^2 x}{2} + \ln x + C.$
答案：
$\boxed{\frac{\ln^2 x}{2} + \ln x + C}$

解析

本题考查函数的求解以及不定积分的计算。解题思路是先通过换换元法求出函数$f(x)$的表达式，再将其代入到积分式子中，最后通过换元法将积分式子转化为常见形式进行计算。

下面进行详细的计算：

  1. 设$e^x = t$，则$x = \ln t$。
  2. 将$1)代入到已知\(f(e^{x}) = x + 1$中，可得$f(t) = \ln t + 1$。
  3. 由(2)可知$f(x) = \ln x + 1$（$x > 0$）。
  4. 将(3)代入到$\int\frac{f(x)}{x}dx$中，可得$\int\frac{f(x)}{x}dx=\int\frac{\ln x + 1}{x}dx$。
  5. 令$4)中\(\ln x = u$，则$du=\frac{1}{x}dx$，将其代入到(4)可得$\int\frac{\ln x + 1}{x}dx=\int(u + 1)du$。
  6. 根据积分公式$\int(u + 1)du=\int udu+\int 1du=\frac{u^2}{2}+u+C$ )，将$u = \ln x$代回可得$\frac{\ln^2 x}{2}+\ln x+C + C$。