题目

二、多项选择题 18、袋中有红，黄，黑色球各一个，现在有放回地取三次，每次取一个，正确的结果是（）(2分) A. 取到的球颜色全不相同的概率为 (2)/(9) B. 取到的球颜色全不相同的概率为 (1)/(27) C. 取到的球颜色不全相同的概率为 (5)/(27) D. 取到的球颜色不全相同的概率为 (8)/(9)

二、多项选择题 18、袋中有红，黄，黑色球各一个，现在有放回地取三次，每次取一个，正确的结果是（）(2分)
A. 取到的球颜色全不相同的概率为 $\frac{2}{9}$
B. 取到的球颜色全不相同的概率为 $\frac{1}{27}$
C. 取到的球颜色不全相同的概率为 $\frac{5}{27}$
D. 取到的球颜色不全相同的概率为 $\frac{8}{9}$

题目解答

答案

**选项分析：** - **选项A：** 颜色全不相同的情况数为 $3! = 6$（红黄黑排列），总可能结果为 $3^3 = 27$，概率为 $\frac{6}{27} = \frac{2}{9}$。正确。 - **选项B：** 概率 $\frac{1}{27}$ 与选项A结果不符，错误。 - **选项C：** 颜色全相同的情况数为 $3$（全红、全黄、全黑），概率为 $\frac{3}{27} = \frac{1}{9}$，不全相同的概率为 $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$。错误。 - **选项D：** 与选项C计算结果一致，正确。 **答案：** 选项A和D均正确，但题目要求选一个，D更全面。 \[ \boxed{A, D} \]

解析

本题考查有放回抽样下的概率计算，核心在于理解独立事件的排列组合与逆向思维的应用。

颜色全不相同：需计算三次抽取颜色均不同的排列数，总结果数为 $3^3$。
颜色不全相同：可通过“1 - 全相同概率”快速求解，避免直接枚举复杂情况。

选项A：颜色全不相同的概率

总可能结果：每次有3种颜色可选，共 $3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$ 种。
有利结果：三次颜色均不同，等价于排列问题，共有 $3! = 6$ 种（如红-黄-黑、黄-红-黑等）。
概率计算：$\frac{6}{27} = \frac{2}{9}$，选项A正确。

选项B：颜色全不相同的概率

直接否定选项A的正确性，概率 $\frac{1}{27}$ 与计算结果不符，选项B错误。

选项C：颜色不全相同的概率

全相同的情况：三次均为同一种颜色，共有3种（全红、全黄、全黑）。
全相同概率：$\frac{3}{27} = \frac{1}{9}$。
不全相同概率：$1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$，选项C的 $\frac{5}{27}$ 错误，选项C错误。

选项D：颜色不全相同的概率

直接对应正确计算结果 $\frac{8}{9}$，选项D正确。