题目
16.有一繁忙的汽车站，每天有大量的汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001.在某天的该时间段内有1000辆汽车通过.问出事故的车辆数不小于2的概率是多少？（利用泊松定理计算.）
16.有一繁忙的汽车站，每天有大量的汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001.在某天的该时间段内有1000辆汽车通过.问出事故的车辆数不小于2的概率是多少？（利用泊松定理计算.）
题目解答
答案
设出事故的车辆数为 $ X $，则 $ X \sim b(1000, 0.0001) $。利用泊松定理，令 $ \lambda = np = 0.1 $，则 $ X $ 近似服从参数为 $ \lambda $ 的泊松分布。
计算 $ P(X \geq 2) $：
\[
P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)
\]
其中，
\[
P(X = 0) = e^{-0.1}, \quad P(X = 1) = 0.1e^{-0.1}
\]
代入得
\[
P(X \geq 2) = 1 - e^{-0.1}(1 + 0.1) \approx 1 - 0.904837 \times 1.1 \approx 0.0047
\]
**答案：** $\boxed{0.0047}$
解析
考查要点：本题主要考查泊松定理的应用，即当二项分布的参数满足n很大、p很小时，用泊松分布进行近似计算。
解题核心思路：
- 判断适用条件：题目中n=1000（较大），p=0.0001（很小），符合泊松近似的条件。
- 确定泊松参数：计算λ=np=0.1。
- 转化概率表达式：将P(X≥2)转化为1-P(X=0)-P(X=1)，利用泊松分布公式计算。
破题关键点：
- 正确应用泊松分布公式，注意参数λ的计算。
- 灵活运用概率的补集性质简化计算。
设出事故的车辆数为$X$，则$X$服从二项分布$b(1000, 0.0001)$。根据泊松定理，当$n$很大且$p$很小时，$X$近似服从参数为$\lambda=np=0.1$的泊松分布。
计算步骤：
- 计算P(X=0)：
$P(X=0) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!} = e^{-0.1} \approx 0.904837$ - 计算P(X=1)：
$P(X=1) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = 0.1 \cdot e^{-0.1} \approx 0.0904837$ - 计算P(X≥2)：
$P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - e^{-0.1}(1 + 0.1) \approx 1 - 0.904837 \times 1.1 \approx 0.0047$