题目
若函数 z = f(x, y) 存在全微分，则函数的全增量与全微分之差 Delta z - dz 是较 rho = sqrt((Delta x)^2 + (Delta y)^2) 当 Delta x to 0, Delta y to 0 时的()A. 同阶无穷小量B. 高阶无穷小量C. 低阶无穷小量D. 等价无穷小量
若函数 $z = f(x, y)$ 存在全微分，则函数的全增量与全微分之差 $\Delta z - dz$ 是较 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ 当 $\Delta x \to 0, \Delta y \to 0$ 时的()
A. 同阶无穷小量
B. 高阶无穷小量
C. 低阶无穷小量
D. 等价无穷小量
题目解答
答案
B. 高阶无穷小量
解析
步骤 1：理解全微分和全增量的定义
函数 $z = f(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{d}z$ 定义为：\[ \mathrm{d}z = f_x(x, y) \Delta x + f_y(x, y) \Delta y \] 其中 $f_x(x, y)$ 和 $f_y(x, y)$ 分别是函数 $f(x, y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。全增量 $\Delta z$ 定义为：\[ \Delta z = f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y) \]
步骤 2：分析全增量与全微分之差
根据全增量的定义，可以将 $\Delta z$ 表示为：\[ \Delta z = f_x(x, y) \Delta x + f_y(x, y) \Delta y + o(\rho) \] 其中 $o(\rho)$ 是比 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ 高阶的无穷小量。因此，全增量与全微分之差 $\Delta z - \mathrm{d}z$ 可以表示为：\[ \Delta z - \mathrm{d}z = o(\rho) \]
步骤 3：确定 $\Delta z - \mathrm{d}z$ 的阶数
由于 $o(\rho)$ 是比 $\rho$ 高阶的无穷小量，因此 $\Delta z - \mathrm{d}z$ 是比 $\rho$ 高阶的无穷小量。
函数 $z = f(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{d}z$ 定义为：\[ \mathrm{d}z = f_x(x, y) \Delta x + f_y(x, y) \Delta y \] 其中 $f_x(x, y)$ 和 $f_y(x, y)$ 分别是函数 $f(x, y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。全增量 $\Delta z$ 定义为：\[ \Delta z = f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y) \]
步骤 2：分析全增量与全微分之差
根据全增量的定义，可以将 $\Delta z$ 表示为：\[ \Delta z = f_x(x, y) \Delta x + f_y(x, y) \Delta y + o(\rho) \] 其中 $o(\rho)$ 是比 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ 高阶的无穷小量。因此，全增量与全微分之差 $\Delta z - \mathrm{d}z$ 可以表示为：\[ \Delta z - \mathrm{d}z = o(\rho) \]
步骤 3：确定 $\Delta z - \mathrm{d}z$ 的阶数
由于 $o(\rho)$ 是比 $\rho$ 高阶的无穷小量，因此 $\Delta z - \mathrm{d}z$ 是比 $\rho$ 高阶的无穷小量。