(Ⅳ)lim_(xto0)((1+x)^frac(3)/(x)-e^3)(x);

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及指数函数的泰勒展开和等价无穷小替换的应用。
解题思路：

1. 核心思路：将复杂表达式$(1+x)^{\frac{3}{x}}$通过取对数转化为指数形式，利用泰勒展开展开到足够阶数，从而简化原式。
2. 关键步骤：
   • 对数转换：设$y = (1+x)^{\frac{3}{x}}$，取自然对数后展开$\ln(1+x)$。
   • 指数展开：将展开后的对数结果代入指数函数，利用泰勒展开展开$e^{\text{表达式}}$。
   • 化简分子：通过展开后的表达式，提取分子中的低阶项，消去常数项，最终求出极限。

步骤1：对数转换与展开

设$y = (1+x)^{\frac{3}{x}}$，取自然对数得：
$\ln y = \frac{3}{x} \ln(1+x).$
当$x \to 0$时，$\ln(1+x)$的泰勒展开为：
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3).$
代入得：
$\ln y \approx \frac{3}{x} \left(x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)\right) = 3 - \frac{3x}{2} + O(x^2).$

步骤2：指数展开

将$\ln y$代入指数函数：
$y = e^{\ln y} \approx e^{3 - \frac{3x}{2} + O(x^2)}.$
利用泰勒展开展开$e^{-\frac{3x}{2} + O(x^2)}$：
$e^{-\frac{3x}{2} + O(x^2)} \approx 1 - \frac{3x}{2} + O(x^2).$
因此：
$y \approx e^3 \left(1 - \frac{3x}{2} + O(x^2)\right) = e^3 - \frac{3e^3 x}{2} + O(x^2).$

步骤3：代入原式求极限

将$y$代入原式：
$\begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{\left(1+x\right)^{\frac{3}{x}}-e^{3}}{x} &= \lim_{x\to0}\frac{e^3 - \frac{3e^3 x}{2} + O(x^2) - e^3}{x} \\&= \lim_{x\to0}\frac{-\frac{3e^3 x}{2} + O(x^2)}{x} \\&= \lim_{x\to0}\left(-\frac{3e^3}{2} + O(x)\right) \\&= -\frac{3e^3}{2}.\end{aligned}$