数列 x_(n)=n[e(1+(1)/(n))^-n-1]，则 lim_(n arrow infty) x_(n)= ______.

为求极限 $\lim_{n \to \infty} x_n$，其中 $x_n = n \left[ e \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n} - 1 \right]$，采用变量代换与泰勒展开法：

步骤一：变量代换

令 $y = \frac{1}{n}$，则当 $n \to \infty$ 时，$y \to 0^+$，原极限转化为：
$\lim_{y \to 0^+} \frac{1}{y} \left[ e (1 + y)^{-\frac{1}{y}} - 1 \right].$

步骤二：对指数部分取对数并展开

考虑 $(1 + y)^{-\frac{1}{y}}$，对其取对数：
$\ln \left( (1 + y)^{-\frac{1}{y}} \right) = -\frac{1}{y} \ln(1 + y).$
利用 $\ln(1 + y) = y - \frac{y^2}{2} + O(y^3)$，得：
$-\frac{1}{y} \ln(1 + y) = -1 + \frac{y}{2} + O(y^2).$
因此，
$(1 + y)^{-\frac{1}{y}} = e^{-1} \cdot e^{\frac{y}{2} + O(y^2)}.$

步骤三：指数函数展开并代回原式

对 $e^{\frac{y}{2} + O(y^2)}$ 使用泰勒展开 $e^z = 1 + z + O(z^2)$，得：
$e^{\frac{y}{2} + O(y^2)} = 1 + \frac{y}{2} + O(y^2),$
所以：
$(1 + y)^{-\frac{1}{y}} = \frac{1}{e} \left(1 + \frac{y}{2} + O(y^2)\right),$
进而：
$e (1 + y)^{-\frac{1}{y}} = 1 + \frac{y}{2} + O(y^2).$

步骤四：计算最终极限

代入极限表达式：
$\lim_{y \to 0^+} \frac{1}{y} \left[ \left(1 + \frac{y}{2} + O(y^2)\right) - 1 \right] = \lim_{y \to 0^+} \left( \frac{1}{2} + O(y) \right) = \frac{1}{2}.$