例4】 设函数f(x )在 (-infty ,+infty ) 上有定义,在区间[0,2]上, (x)=x((x)^2-4),-|||-若对任意的 x 都满足 (x)=kf(x+2), 其中 k 为常数.-|||-(1)写出 f(x)在 [ -2,0) 上的表达式;-|||-(2)问k为何值时,f (x)在 x=0 处可导.

考查要点：
本题主要考查函数的周期性（或递推关系）及分段函数在分界点处的可导性。
解题思路：

1. 第（1）题：利用题目给出的递推关系式 $f(x) = k f(x+2)$，将已知区间 $[0,2]$ 的表达式向左平移得到 $[-2,0)$ 的表达式。
2. 第（2）题：函数在分界点 $x=0$ 处可导的条件是左右导数相等，需分别计算左右导数并令其相等，解出 $k$ 的值。
   关键点：

• 递推关系的应用：通过变量替换将未知区间转化为已知区间。
• 可导性条件：连续性是可导的前提，但题目已隐含连续性，直接通过左右导数相等求解。

第（1）题

当 $x \in [-2, 0)$ 时，$x+2 \in [0, 2)$，此时 $f(x+2) = (x+2)\left[(x+2)^2 - 4\right]$。
根据递推关系 $f(x) = k f(x+2)$，代入得：
$f(x) = k(x+2)\left[(x+2)^2 - 4\right]$
展开并化简：
$\begin{aligned}(x+2)^2 - 4 &= x^2 + 4x + 4 - 4 = x^2 + 4x, \\f(x) &= k(x+2)(x^2 + 4x) = kx(x+2)(x+4).\end{aligned}$
因此，$f(x)$ 在 $[-2, 0)$ 上的表达式为 $kx(x+2)(x+4)$。

第（2）题

步骤1：验证连续性
函数在 $x=0$ 处连续，左右极限相等：

• 当 $x \to 0^+$ 时，$f(0) = 0 \cdot (0^2 - 4) = 0$；
• 当 $x \to 0^-$ 时，$f(0) = k \cdot 0 \cdot (0+2)(0+4) = 0$。
  连续性成立。

步骤2：计算左右导数

• 右导数（$x \geq 0$）：
  $f(x) = x(x^2 - 4) = x^3 - 4x$，导数为 $f'(x) = 3x^2 - 4$，故 $f'_+(0) = 3 \cdot 0^2 - 4 = -4$。
• 左导数（$x < 0$）：
  $f(x) = kx(x+2)(x+4) = k(x^3 + 6x^2 + 8x)$，导数为 $f'(x) = k(3x^2 + 12x + 8)$，故 $f'_-(0) = k \cdot 8$。

步骤3：令左右导数相等
$f'_+(0) = f'_-(0) \implies -4 = 8k \implies k = -\dfrac{1}{2}.$