题目
15.已知三阶矩阵A的特征值为3、2、1,它们对应的特征向量分别为 _(1)=((1,1,0))^2, _(2)=(1,1,1),-|||-_(3)=((0,1,1))^T, 求A.(15分)-|||-2-|||-(2-1 15-|||-o |-1 2
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造矩阵P
根据题意，矩阵A的特征值为3、2、1，对应的特征向量分别为 ${x}_{1}=(1,1,0)$, ${x}_{2}=(1,1,1)$, ${x}_{3}={(0,1,1)}^{T}$。构造矩阵P，其列向量为特征向量，即
$$
P = \left (\begin{matrix} 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 2：构造对角矩阵D
构造对角矩阵D，其对角线元素为特征值，即
$$
D = \left (\begin{matrix} 3& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 3：计算矩阵P的逆矩阵${P}^{-1}$
计算矩阵P的逆矩阵${P}^{-1}$，即
$$
{P}^{-1} = \left (\begin{matrix} 0& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ -1& 1& 0\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 4：计算矩阵A
根据特征值分解公式$A = PDP^{-1}$，计算矩阵A，即
$$
A = \left (\begin{matrix} 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{matrix} ) \right. \left (\begin{matrix} 3& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. \left (\begin{matrix} 0& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ -1& 1& 0\end{matrix} ) \right. = \left (\begin{matrix} 2& 1& -1\\ 1& 2& -1\\ 1& -1& 2\end{matrix} ) \right.
$$
根据题意，矩阵A的特征值为3、2、1，对应的特征向量分别为 ${x}_{1}=(1,1,0)$, ${x}_{2}=(1,1,1)$, ${x}_{3}={(0,1,1)}^{T}$。构造矩阵P，其列向量为特征向量，即
$$
P = \left (\begin{matrix} 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 2：构造对角矩阵D
构造对角矩阵D，其对角线元素为特征值，即
$$
D = \left (\begin{matrix} 3& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 3：计算矩阵P的逆矩阵${P}^{-1}$
计算矩阵P的逆矩阵${P}^{-1}$，即
$$
{P}^{-1} = \left (\begin{matrix} 0& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ -1& 1& 0\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 4：计算矩阵A
根据特征值分解公式$A = PDP^{-1}$，计算矩阵A，即
$$
A = \left (\begin{matrix} 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{matrix} ) \right. \left (\begin{matrix} 3& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. \left (\begin{matrix} 0& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ -1& 1& 0\end{matrix} ) \right. = \left (\begin{matrix} 2& 1& -1\\ 1& 2& -1\\ 1& -1& 2\end{matrix} ) \right.
$$