题目
[ 单选题 ] 复数 1 + i 对应的向量按逆时针方向旋转dfrac (pi )(3) 且长度不变，对应的复数为 （ ）A . dfrac (pi )(3)B . dfrac (pi )(3)C . dfrac (pi )(3)D . dfrac (pi )(3)
[ 单选题 ] 复数 1 + i 对应的向量按逆时针方向旋转
且长度不变，对应的复数为 （ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
题目解答
答案
由题意，复数 1 + i 对应的向量按逆时针方向旋转，
故旋转后的向量对应的复数为
故选C
答案：C
解析
步骤 1：确定复数的旋转
复数 1 + i 对应的向量按逆时针方向旋转$\dfrac {\pi }{3}$，意味着我们需要将复数乘以旋转因子$\cos \dfrac {\pi }{3}+i\sin \dfrac {\pi }{3}$，即$e^{i\frac{\pi}{3}}$。
步骤 2：计算旋转后的复数
旋转后的复数为$(1+i)(\cos \dfrac {\pi }{3}+i\sin \dfrac {\pi }{3})$。将$\cos \dfrac {\pi }{3}=\dfrac{1}{2}$和$\sin \dfrac {\pi }{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$代入，得到$(1+i)(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2})$。
步骤 3：展开并简化
$(1+i)(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2})=(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2})+i(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2})=(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2})+i(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2})$。
复数 1 + i 对应的向量按逆时针方向旋转$\dfrac {\pi }{3}$，意味着我们需要将复数乘以旋转因子$\cos \dfrac {\pi }{3}+i\sin \dfrac {\pi }{3}$，即$e^{i\frac{\pi}{3}}$。
步骤 2：计算旋转后的复数
旋转后的复数为$(1+i)(\cos \dfrac {\pi }{3}+i\sin \dfrac {\pi }{3})$。将$\cos \dfrac {\pi }{3}=\dfrac{1}{2}$和$\sin \dfrac {\pi }{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$代入，得到$(1+i)(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2})$。
步骤 3：展开并简化
$(1+i)(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2})=(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2})+i(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2})=(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2})+i(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2})$。