13.求由曲面z=8-x^2-y^2与z=2sqrt(x^2)+y^(2)所围成立体的体积.

为了求由曲面 $ z = 8 - x^2 - y^2 $ 与 $ z = 2\sqrt{x^2 + y^2} $ 所围成立体的体积，我们首先需要确定这两个曲面的交点。将两个方程设置为相等，我们得到： \[ 8 - x^2 - y^2 = 2\sqrt{x^2 + y^2}. \] 设 $ r = \sqrt{x^2 + y^2} $。则方程变为： \[ 8 - r^2 = 2r. \] 重新排列项，我们得到一个二次方程： \[ r^2 + 2r - 8 = 0. \] 我们可以将这个二次方程分解为： \[ (r + 4)(r - 2) = 0. \] 解为 $ r = -4 $ 和 $ r = 2 $。由于 $ r $ 代表半径，它必须是非负的，所以我们有 $ r = 2 $。这意味着交点发生在 $ x^2 + y^2 = 4 $。 接下来，我们需要在由 $ x^2 + y^2 = 4 $ 定义的区域上，找到两个曲面之间的体积。在极坐标中，体积 $ V $ 可以表示为： \[ V = \iint_R \left( (8 - x^2 - y^2) - 2\sqrt{x^2 + y^2} \right) \, dA, \] 其中 $ R $ 是半径为2的圆盘。在极坐标中，$ x = r \cos \theta $，$ y = r \sin \theta $，且 $ dA = r \, dr \, d\theta $。因此，体积积分变为： \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \left( (8 - r^2) - 2r \right) r \, dr \, d\theta. \] 简化被积函数，我们得到： \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \left( 8r - r^3 - 2r^2 \right) \, dr \, d\theta. \] 我们首先对 $ r $ 进行积分： \[ \int_0^2 \left( 8r - r^3 - 2r^2 \right) \, dr = \left[ 4r^2 - \frac{r^4}{4} - \frac{2r^3}{3} \right]_0^2. \] 代入积分的极限，我们得到： \[ \left( 4(2)^2 - \frac{(2)^4}{4} - \frac{2(2)^3}{3} \right) - \left( 4(0)^2 - \frac{(0)^4}{4} - \frac{2(0)^3}{3} \right) = 16 - 4 - \frac{16}{3} = \frac{48}{3} - \frac{12}{3} - \frac{16}{3} = \frac{20}{3}. \] 现在，我们对 $ \theta $ 进行积分： \[ V = \int_0^{2\pi} \frac{20}{3} \, d\theta = \frac{20}{3} \left[ \theta \right]_0^{2\pi} = \frac{20}{3} \cdot 2\pi = \frac{40\pi}{3}. \] 因此，由曲面所围成立体的体积为： \[ \boxed{\frac{40\pi}{3}}. \]