题目
20.解答题【解答题】有1000个半径为1cm的钢球，为了提高钢球表面的光洁度，要镀上厚为0.01cm的一层铜，若铜的密度为8.9g/cm³，试估计一下镀这批钢球需要多少克铜.
20.解答题
【解答题】有1000个半径为1cm的钢球，为了提高钢球表面的光洁度，要镀上厚为0.01cm的一层铜，若铜的密度为8.9g/cm³，试估计一下镀这批钢球需要多少克铜.
题目解答
答案
1. **计算镀铜前后的体积：**
镀铜前：$ V_{\text{球}} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi $
镀铜后：$ V_{\text{球+铜}} = \frac{4}{3} \pi (r+0.01)^3 \approx \frac{4}{3} \pi \times 1.030301 $
2. **计算单个钢球镀铜体积：**
$ V_{\text{铜}} = V_{\text{球+铜}} - V_{\text{球}} \approx \frac{4}{3} \pi \times 0.030301 \approx 0.1260 \text{ cm}^3 $
3. **计算1000个钢球镀铜总体积：**
$ V_{\text{总铜}} = 1000 \times V_{\text{铜}} \approx 126.0 \text{ cm}^3 $
4. **计算总质量：**
$ m = \rho \times V_{\text{总铜}} \approx 8.9 \times 126.0 \approx 1121.4 \text{ g} $
**答案：**
\[
\boxed{1121.4 \text{ g}}
\]
（或近似值：\[
\boxed{1118.4 \text{ g}}
\]）
**解析：**
使用球体体积公式和近似公式计算镀铜层体积，再乘以铜的密度得到总质量。精确计算结果约为1121.4克，近似计算约为1118.4克，工程中可选近似值。
解析
步骤 1：计算单个钢球的体积
单个钢球的体积 $V_{\text{球}}$ 可以通过球体体积公式计算，即 $V_{\text{球}} = \frac{4}{3} \pi r^3$，其中 $r$ 是钢球的半径。对于半径为1cm的钢球，其体积为 $V_{\text{球}} = \frac{4}{3} \pi \times 1^3 = \frac{4}{3} \pi \text{ cm}^3$。
步骤 2：计算镀铜后钢球的体积
镀铜后钢球的半径变为 $r + 0.01$ cm，即1.01cm。因此，镀铜后钢球的体积 $V_{\text{球+铜}}$ 为 $V_{\text{球+铜}} = \frac{4}{3} \pi (r+0.01)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 1.01^3 \approx \frac{4}{3} \pi \times 1.030301 \text{ cm}^3$。
步骤 3：计算单个钢球镀铜层的体积
单个钢球镀铜层的体积 $V_{\text{铜}}$ 为镀铜后钢球的体积减去镀铜前钢球的体积，即 $V_{\text{铜}} = V_{\text{球+铜}} - V_{\text{球}} \approx \frac{4}{3} \pi \times 0.030301 \approx 0.1260 \text{ cm}^3$。
步骤 4：计算1000个钢球镀铜总体积
1000个钢球镀铜总体积 $V_{\text{总铜}}$ 为单个钢球镀铜层体积乘以钢球数量，即 $V_{\text{总铜}} = 1000 \times V_{\text{铜}} \approx 1000 \times 0.1260 \approx 126.0 \text{ cm}^3$。
步骤 5：计算总质量
总质量 $m$ 为镀铜总体积乘以铜的密度，即 $m = \rho \times V_{\text{总铜}} \approx 8.9 \times 126.0 \approx 1121.4 \text{ g}$。
单个钢球的体积 $V_{\text{球}}$ 可以通过球体体积公式计算，即 $V_{\text{球}} = \frac{4}{3} \pi r^3$，其中 $r$ 是钢球的半径。对于半径为1cm的钢球，其体积为 $V_{\text{球}} = \frac{4}{3} \pi \times 1^3 = \frac{4}{3} \pi \text{ cm}^3$。
步骤 2：计算镀铜后钢球的体积
镀铜后钢球的半径变为 $r + 0.01$ cm，即1.01cm。因此，镀铜后钢球的体积 $V_{\text{球+铜}}$ 为 $V_{\text{球+铜}} = \frac{4}{3} \pi (r+0.01)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 1.01^3 \approx \frac{4}{3} \pi \times 1.030301 \text{ cm}^3$。
步骤 3：计算单个钢球镀铜层的体积
单个钢球镀铜层的体积 $V_{\text{铜}}$ 为镀铜后钢球的体积减去镀铜前钢球的体积，即 $V_{\text{铜}} = V_{\text{球+铜}} - V_{\text{球}} \approx \frac{4}{3} \pi \times 0.030301 \approx 0.1260 \text{ cm}^3$。
步骤 4：计算1000个钢球镀铜总体积
1000个钢球镀铜总体积 $V_{\text{总铜}}$ 为单个钢球镀铜层体积乘以钢球数量，即 $V_{\text{总铜}} = 1000 \times V_{\text{铜}} \approx 1000 \times 0.1260 \approx 126.0 \text{ cm}^3$。
步骤 5：计算总质量
总质量 $m$ 为镀铜总体积乘以铜的密度，即 $m = \rho \times V_{\text{总铜}} \approx 8.9 \times 126.0 \approx 1121.4 \text{ g}$。