求极限 lim (sin sqrt (x+1)-sin sqrt (x)).

考查要点：本题主要考查利用三角恒等式（和差化积公式）处理三角函数差的极限，以及结合有界函数与无穷小量乘积的性质求解极限。

解题核心思路：

1. 和差化积：将$\sin \sqrt{x+1} - \sin \sqrt{x}$转化为乘积形式，便于分析各部分的极限行为。
2. 分析无穷小量：确定其中一个因子是否为无穷小量，并判断另一个因子是否为有界函数。
3. 应用极限性质：利用“无穷小量乘以有界函数仍为无穷小量”的结论得出最终结果。

破题关键点：

• 正确应用和差化积公式，将原式变形为两个因子的乘积。
• 准确计算$\sqrt{x+1} - \sqrt{x}$的极限，证明其为无穷小量。
• 判断$\cos$项的有界性，结合乘积形式的极限性质得出结论。

步骤1：应用和差化积公式
根据三角恒等式：
$\sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$
令$A = \sqrt{x+1}$，$B = \sqrt{x}$，则原式可变形为：
$\sin \sqrt{x+1} - \sin \sqrt{x} = 2 \cos \left( \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}{2} \right) \sin \left( \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{2} \right)$

步骤2：分析$\sin$项的极限
计算$\sqrt{x+1} - \sqrt{x}$：
$\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} \xrightarrow{x \to +\infty} 0$
因此，当$x \to +\infty$时，
$\sin \left( \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{2} \right) \approx \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{2} \xrightarrow{x \to +\infty} 0$

步骤3：分析$\cos$项的有界性
注意到$\cos \left( \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}{2} \right)$的绝对值恒不超过1，即：
$\left| \cos \left( \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}{2} \right) \right| \leq 1$

步骤4：结合乘积形式的极限
原式可表示为：
$2 \cdot \underbrace{\cos \left( \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}{2} \right)}_{\text{有界}} \cdot \underbrace{\sin \left( \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{2} \right)}_{\to 0}$
根据“无穷小量乘以有界函数仍为无穷小量”的性质，可得：
$\lim_{x \to +\infty} \left( \sin \sqrt{x+1} - \sin \sqrt{x} \right) = 0$