题目
计算二重积分 iintlimits_(D)^{} cos(x+y) dxdy，其中D是由直线x=0，y=π和y=x围成的区域.A. -1B. 2C. -2D. 1
计算二重积分$ \iint\limits_{D}^{} \cos(x+y) dxdy$，其中D是由直线x=0，y=π和y=x围成的区域.
A. -1
B. 2
C. -2
D. 1
题目解答
答案
C. -2
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域 $D$ 由直线 $x=0$，$y=\pi$ 和 $y=x$ 围成，可表示为 $0 \leq y \leq \pi$，$0 \leq x \leq y$。
步骤 2：先对 $x$ 积分
\[
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{y} \cos(x+y) \, dx \, dy = \int_{0}^{\pi} \left[ \sin(x+y) \right]_{x=0}^{x=y} \, dy = \int_{0}^{\pi} (\sin(2y) - \sin(y)) \, dy.
\]
步骤 3：计算积分
\[
\int_{0}^{\pi} \sin(2y) \, dy = 0, \quad \int_{0}^{\pi} \sin(y) \, dy = 2.
\]
步骤 4：计算结果
\[
0 - 2 = -2.
\]
积分区域 $D$ 由直线 $x=0$，$y=\pi$ 和 $y=x$ 围成，可表示为 $0 \leq y \leq \pi$，$0 \leq x \leq y$。
步骤 2：先对 $x$ 积分
\[
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{y} \cos(x+y) \, dx \, dy = \int_{0}^{\pi} \left[ \sin(x+y) \right]_{x=0}^{x=y} \, dy = \int_{0}^{\pi} (\sin(2y) - \sin(y)) \, dy.
\]
步骤 3：计算积分
\[
\int_{0}^{\pi} \sin(2y) \, dy = 0, \quad \int_{0}^{\pi} \sin(y) \, dy = 2.
\]
步骤 4：计算结果
\[
0 - 2 = -2.
\]