题目
7.已知微分方程 ''-2y'+y=0 的通解 =((C)_(1)+(C)_(2)x)(e)^x, 利用常数变-|||-易法求非齐次方程 ''-2y'+y=dfrac ({e)^x}(y) 的通解.[72]
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定齐次方程的通解
已知微分方程 $y''-2y'+y=0$ 的通解为 $y=({C}_{1}+{C}_{2}x){e}^{x}$，其中 ${C}_{1}$ 和 ${C}_{2}$ 是任意常数。
步骤 2：利用常数变易法
假设非齐次方程 $y''-2y'+y=\dfrac {{e}^{x}}{y}$ 的通解形式为 $y=(u_{1}(x)+u_{2}(x)x){e}^{x}$，其中 $u_{1}(x)$ 和 $u_{2}(x)$ 是待定函数。
步骤 3：求解 $u_{1}(x)$ 和 $u_{2}(x)$
将 $y=(u_{1}(x)+u_{2}(x)x){e}^{x}$ 代入非齐次方程 $y''-2y'+y=\dfrac {{e}^{x}}{y}$，并利用 $y$ 的导数，得到关于 $u_{1}(x)$ 和 $u_{2}(x)$ 的方程组。解这个方程组，得到 $u_{1}(x)$ 和 $u_{2}(x)$ 的表达式。
步骤 4：代入 $u_{1}(x)$ 和 $u_{2}(x)$
将 $u_{1}(x)$ 和 $u_{2}(x)$ 的表达式代入 $y=(u_{1}(x)+u_{2}(x)x){e}^{x}$，得到非齐次方程的通解。
已知微分方程 $y''-2y'+y=0$ 的通解为 $y=({C}_{1}+{C}_{2}x){e}^{x}$，其中 ${C}_{1}$ 和 ${C}_{2}$ 是任意常数。
步骤 2：利用常数变易法
假设非齐次方程 $y''-2y'+y=\dfrac {{e}^{x}}{y}$ 的通解形式为 $y=(u_{1}(x)+u_{2}(x)x){e}^{x}$，其中 $u_{1}(x)$ 和 $u_{2}(x)$ 是待定函数。
步骤 3：求解 $u_{1}(x)$ 和 $u_{2}(x)$
将 $y=(u_{1}(x)+u_{2}(x)x){e}^{x}$ 代入非齐次方程 $y''-2y'+y=\dfrac {{e}^{x}}{y}$，并利用 $y$ 的导数，得到关于 $u_{1}(x)$ 和 $u_{2}(x)$ 的方程组。解这个方程组，得到 $u_{1}(x)$ 和 $u_{2}(x)$ 的表达式。
步骤 4：代入 $u_{1}(x)$ 和 $u_{2}(x)$
将 $u_{1}(x)$ 和 $u_{2}(x)$ 的表达式代入 $y=(u_{1}(x)+u_{2}(x)x){e}^{x}$，得到非齐次方程的通解。