题目
已知AB=2i+2k,AB=2i+2k,则AB=2i+2k=_, AB=2i+2k的面积=_.注 向量写为坐标形式，如:（1,2,3）
已知
,
,
则
=_,
的面积=_.
注 向量写为坐标形式，如:（1,2,3）
题目解答
答案
的面积=
=
=3
解析
步骤 1：计算向量$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {AC}$的叉乘
向量$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {AC}$的叉乘可以使用行列式的方法计算。给定$\overrightarrow {AB}=(2,0,2)$和$\overrightarrow {AC}=(1,2,2)$，叉乘$\overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {AC}$的计算如下：
$$
\overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {AC} = \begin{vmatrix}
\overrightarrow {i} & \overrightarrow {j} & \overrightarrow {k} \\
2 & 0 & 2 \\
1 & 2 & 2
\end{vmatrix} = (0\cdot2 - 2\cdot2)\overrightarrow {i} - (2\cdot2 - 2\cdot1)\overrightarrow {j} + (2\cdot2 - 0\cdot1)\overrightarrow {k} = (-4,-2,4)
$$
步骤 2：计算$\Delta ABC$的面积
$\Delta ABC$的面积可以通过向量$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {AC}$叉乘的模长的一半来计算。即：
$$
\Delta ABC的面积 = \dfrac {1}{2}|\overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {AC}| = \dfrac {1}{2}\sqrt {{(-4)}^{2}+{(-2)}^{2}+{4}^{2}} = \dfrac {1}{2}\sqrt {16+4+16} = \dfrac {1}{2}\sqrt {36} = \dfrac {1}{2}\cdot6 = 3
$$
向量$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {AC}$的叉乘可以使用行列式的方法计算。给定$\overrightarrow {AB}=(2,0,2)$和$\overrightarrow {AC}=(1,2,2)$，叉乘$\overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {AC}$的计算如下：
$$
\overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {AC} = \begin{vmatrix}
\overrightarrow {i} & \overrightarrow {j} & \overrightarrow {k} \\
2 & 0 & 2 \\
1 & 2 & 2
\end{vmatrix} = (0\cdot2 - 2\cdot2)\overrightarrow {i} - (2\cdot2 - 2\cdot1)\overrightarrow {j} + (2\cdot2 - 0\cdot1)\overrightarrow {k} = (-4,-2,4)
$$
步骤 2：计算$\Delta ABC$的面积
$\Delta ABC$的面积可以通过向量$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {AC}$叉乘的模长的一半来计算。即：
$$
\Delta ABC的面积 = \dfrac {1}{2}|\overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {AC}| = \dfrac {1}{2}\sqrt {{(-4)}^{2}+{(-2)}^{2}+{4}^{2}} = \dfrac {1}{2}\sqrt {16+4+16} = \dfrac {1}{2}\sqrt {36} = \dfrac {1}{2}\cdot6 = 3
$$