题目
[题目]-|||-设 f(x)= ) (x)^2,xin [ 0,1) x,xin [ 1,2)f(t)dt 在[0,2]上的表达式,-|||-并讨论φ(x)在(0,2)内的连续性.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $\varphi (x)$ 在 $0\leqslant x\lt 1$ 时的表达式
当 $0\leqslant x\lt 1$ 时，$f(t) = t^2$，因此 $\varphi (x) = \int_{0}^{x} t^2 dt$。根据积分公式，$\int t^2 dt = \frac{1}{3}t^3 + C$，所以 $\varphi (x) = \frac{1}{3}x^3$。
步骤 2：计算 $\varphi (x)$ 在 $1\leqslant x\leqslant 2$ 时的表达式
当 $1\leqslant x\leqslant 2$ 时，$f(t)$ 在 $[0,1)$ 区间内为 $t^2$，在 $[1,2)$ 区间内为 $t$。因此，$\varphi (x) = \int_{0}^{1} t^2 dt + \int_{1}^{x} t dt$。根据积分公式，$\int t^2 dt = \frac{1}{3}t^3 + C$，$\int t dt = \frac{1}{2}t^2 + C$，所以 $\varphi (x) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}$。
步骤 3：讨论 $\varphi (x)$ 在 $(0,2)$ 内的连续性
$\varphi (x)$ 在 $(0,1)\cup (1,2)$ 内连续，再讨论它在点 $x=1$ 处的连续性。$\varphi (1-0) = \lim_{x\rightarrow 1^{-}}(\frac{1}{3}x^3) = \frac{1}{3} = \varphi (1)$，$\varphi (1+0) = \lim_{x\rightarrow 1^{+}}(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{6}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3} = \varphi (1)$。因此，$\varphi (x)$ 在 $(0,2)$ 内处处连续。
当 $0\leqslant x\lt 1$ 时，$f(t) = t^2$，因此 $\varphi (x) = \int_{0}^{x} t^2 dt$。根据积分公式，$\int t^2 dt = \frac{1}{3}t^3 + C$，所以 $\varphi (x) = \frac{1}{3}x^3$。
步骤 2：计算 $\varphi (x)$ 在 $1\leqslant x\leqslant 2$ 时的表达式
当 $1\leqslant x\leqslant 2$ 时，$f(t)$ 在 $[0,1)$ 区间内为 $t^2$，在 $[1,2)$ 区间内为 $t$。因此，$\varphi (x) = \int_{0}^{1} t^2 dt + \int_{1}^{x} t dt$。根据积分公式，$\int t^2 dt = \frac{1}{3}t^3 + C$，$\int t dt = \frac{1}{2}t^2 + C$，所以 $\varphi (x) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}$。
步骤 3：讨论 $\varphi (x)$ 在 $(0,2)$ 内的连续性
$\varphi (x)$ 在 $(0,1)\cup (1,2)$ 内连续，再讨论它在点 $x=1$ 处的连续性。$\varphi (1-0) = \lim_{x\rightarrow 1^{-}}(\frac{1}{3}x^3) = \frac{1}{3} = \varphi (1)$，$\varphi (1+0) = \lim_{x\rightarrow 1^{+}}(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{6}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3} = \varphi (1)$。因此，$\varphi (x)$ 在 $(0,2)$ 内处处连续。