(1) 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5．在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律。 (2) 将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，试求X的分布律。

（1）袋中取球问题
本题考查离散型随机变量的分布律，核心在于确定随机变量$X$（最大号码）的可能取值及其对应的概率。

• 关键思路：当最大号码为$x$时，其余两球必须从编号$1$到$x-1$中选取，组合数为$\mathrm{C}_{x-1}^{2}$。总取法数为$\mathrm{C}_{5}^{3}=10$。
• 破题点：通过组合数公式直接计算各取值对应的概率，验证概率和为$1$。

（2）骰子点数问题
本题考查极值问题的概率计算，需明确“较小点数”的定义。

• 关键思路：对于$X=k$，需统计两次点数均$\geq k$且至少有一个等于$k$的情况数。
• 破题点：利用对称性或直接枚举法，计算每个$k$对应的组合数。

（1）袋中取球问题

确定可能取值

最大号码$X$的可能取值为$3,4,5$（因为取3个球，最小最大值为3，最大为5）。

计算各取值概率

• 当$X=3$时：
  剩余两球必须从$1,2$中选，组合数为$\mathrm{C}_{2}^{2}=1$，概率为$\dfrac{1}{10}$。
• 当$X=4$时：
  剩余两球从$1,2,3$中选，组合数为$\mathrm{C}_{3}^{2}=3$，概率为$\dfrac{3}{10}$。
• 当$X=5$时：
  剩余两球从$1,2,3,4$中选，组合数为$\mathrm{C}_{4}^{2}=6$，概率为$\dfrac{6}{10}$。

验证概率和

$\dfrac{1}{10} + \dfrac{3}{10} + \dfrac{6}{10} = 1$，符合分布律要求。

（2）骰子点数问题

确定可能取值

$X$的可能取值为$1,2,3,4,5,6$。

计算各取值概率

• 当$X=k$时：
  两次点数均$\geq k$且至少有一个等于$k$。
  组合数为$(7-k) \times 2 -1$（例如，$k=1$时为$11$种，$k=6$时为$1$种）。
  概率为$\dfrac{2(7-k)-1}{36}$。

具体计算

• $X=1$：$\dfrac{11}{36}$
• $X=2$：$\dfrac{9}{36}$
• $X=3$：$\dfrac{7}{36}$
• $X=4$：$\dfrac{5}{36}$
• $X=5$：$\dfrac{3}{36}$
• $X=6$：$\dfrac{1}{36}$