SOS | 3 1 -1 2| 计算行列式 D=|-5 1 3 -4|.| 2 0 1 -1| | 1 -5 3 -3|3 1 -1 2-|||-计算行列式D= -5 1 3 -4-|||-2 0 1 -1 o-|||-1 -5 3 -3-|||-设A=(1/2 2 0 3 -1 ),B= (-4x-3x=0 .

本题考查四阶行列式的计算，核心思路是通过列变换将行列式化简为易于计算的形式，再利用降阶法逐步展开。关键在于：

1. 通过列线性组合创造零元素，简化行列式结构；
2. 代数余子式展开时优先选择零元素较多的行或列；
3. 多次降阶，将高阶行列式转化为低阶行列式计算。

初始行列式

$D = \begin{vmatrix}3 & 1 & -1 & 2 \\-5 & 1 & 3 & -4 \\2 & 0 & 1 & -1 \\1 & -5 & 3 & -3\end{vmatrix}$

第一步列变换

对原行列式进行列变换：

• $C_1 \leftarrow C_1 - 3C_2$：消去第一列下方元素；
• $C_3 \leftarrow C_3 + C_2$：简化第三列；
• $C_4 \leftarrow C_4 - 2C_2$：简化第四列。

变换后行列式为：
$\begin{vmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\-8 & 1 & 4 & -6 \\2 & 0 & 1 & -1 \\16 & -5 & -2 & 7\end{vmatrix}$

第一次降阶

展开第一行，仅保留非零元素：
$D = 1 \cdot (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix}-8 & 4 & -6 \\2 & 1 & -1 \\16 & -2 & 7\end{vmatrix}$

第二步列变换

对子行列式进行列变换：

• $C_1 \leftarrow C_1 - 2C_2$：消去第一列下方元素；
• $C_3 \leftarrow C_3 + C_2$：简化第三列。

变换后子行列式为：
$\begin{vmatrix}-16 & 4 & -2 \\0 & 1 & 0 \\20 & -2 & 5\end{vmatrix}$

第二次降阶

展开第二行，仅保留非零元素：
$\begin{vmatrix}-16 & -2 \\20 & 5\end{vmatrix}$

计算最终结果

$\text{结果} = (-16 \times 5) - (-2 \times 20) = -80 + 40 = -40 \\ D = (-1)^{1+2} \cdot (-1)^{2+2} \cdot (-40) = 40$