题目
(15分) 证明:如果曲线的所有密切平面都经过一个定点,则此曲线是平面曲线。
(15分) 证明:如果曲线的所有密切平面都经过一个定点,则此曲线是平面曲线。
题目解答
答案
证明:设曲线
:
,由已知条件
(1) ……………………………3分
两边对
求微商:
所以 
…………………………………………………5分
①若
,则曲线是平面曲线……………………………………………………7分
②若
两边对求微商:
…………………………………………………………8分
所以 
……………………………………10分
由已知条件(1)式,后一项为零,所以
………………………………………………………………………12分
又有(1)、②两式知:
所以
……………………………………………………………………………14分
故 
,从而
曲线是直线
综上知设曲线是平面曲线. ………………………………………………………15分
解析
步骤 1：定义曲线和密切平面
设曲线为 $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{r}(s)$，其中 $s$ 是弧长参数。密切平面是曲线在某一点处的切线和主法线所确定的平面。如果所有密切平面都经过一个定点 $\overrightarrow{R_0}$，则有 $\overrightarrow{r}(s) - \overrightarrow{R_0}$ 垂直于密切平面的法向量 $\overrightarrow{b}(s)$，即
\[
(\overrightarrow{r}(s) - \overrightarrow{R_0}) \cdot \overrightarrow{b}(s) = 0.
\]
步骤 2：对上述等式求导
对上述等式两边对 $s$ 求导，得到
\[
\overrightarrow{r}'(s) \cdot \overrightarrow{b}(s) + (\overrightarrow{r}(s) - \overrightarrow{R_0}) \cdot \overrightarrow{b}'(s) = 0.
\]
由于 $\overrightarrow{r}'(s) = \overrightarrow{t}(s)$ 是切向量，而 $\overrightarrow{b}(s)$ 是副法向量，它们相互垂直，所以 $\overrightarrow{r}'(s) \cdot \overrightarrow{b}(s) = 0$。因此，上式简化为
\[
(\overrightarrow{r}(s) - \overrightarrow{R_0}) \cdot \overrightarrow{b}'(s) = 0.
\]
步骤 3：利用副法向量的导数
副法向量的导数 $\overrightarrow{b}'(s)$ 可以表示为
\[
\overrightarrow{b}'(s) = -\tau(s) \overrightarrow{n}(s),
\]
其中 $\tau(s)$ 是挠率，$\overrightarrow{n}(s)$ 是主法向量。因此，上式变为
\[
(\overrightarrow{r}(s) - \overrightarrow{R_0}) \cdot (-\tau(s) \overrightarrow{n}(s)) = 0.
\]
由于 $\tau(s)$ 是标量，可以提取出来，得到
\[
(\overrightarrow{r}(s) - \overrightarrow{R_0}) \cdot \overrightarrow{n}(s) = 0.
\]
步骤 4：分析结果
上式表明 $\overrightarrow{r}(s) - \overrightarrow{R_0}$ 垂直于主法向量 $\overrightarrow{n}(s)$。由于 $\overrightarrow{r}(s) - \overrightarrow{R_0}$ 已经垂直于副法向量 $\overrightarrow{b}(s)$，所以 $\overrightarrow{r}(s) - \overrightarrow{R_0}$ 必须平行于切向量 $\overrightarrow{t}(s)$。这意味着曲线 $\overrightarrow{r}(s)$ 在每个点处的法向量都垂直于同一个向量 $\overrightarrow{r}(s) - \overrightarrow{R_0}$，因此曲线 $\overrightarrow{r}(s)$ 必须在一个平面上。
设曲线为 $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{r}(s)$，其中 $s$ 是弧长参数。密切平面是曲线在某一点处的切线和主法线所确定的平面。如果所有密切平面都经过一个定点 $\overrightarrow{R_0}$，则有 $\overrightarrow{r}(s) - \overrightarrow{R_0}$ 垂直于密切平面的法向量 $\overrightarrow{b}(s)$，即
\[
(\overrightarrow{r}(s) - \overrightarrow{R_0}) \cdot \overrightarrow{b}(s) = 0.
\]
步骤 2：对上述等式求导
对上述等式两边对 $s$ 求导，得到
\[
\overrightarrow{r}'(s) \cdot \overrightarrow{b}(s) + (\overrightarrow{r}(s) - \overrightarrow{R_0}) \cdot \overrightarrow{b}'(s) = 0.
\]
由于 $\overrightarrow{r}'(s) = \overrightarrow{t}(s)$ 是切向量，而 $\overrightarrow{b}(s)$ 是副法向量，它们相互垂直，所以 $\overrightarrow{r}'(s) \cdot \overrightarrow{b}(s) = 0$。因此，上式简化为
\[
(\overrightarrow{r}(s) - \overrightarrow{R_0}) \cdot \overrightarrow{b}'(s) = 0.
\]
步骤 3：利用副法向量的导数
副法向量的导数 $\overrightarrow{b}'(s)$ 可以表示为
\[
\overrightarrow{b}'(s) = -\tau(s) \overrightarrow{n}(s),
\]
其中 $\tau(s)$ 是挠率，$\overrightarrow{n}(s)$ 是主法向量。因此，上式变为
\[
(\overrightarrow{r}(s) - \overrightarrow{R_0}) \cdot (-\tau(s) \overrightarrow{n}(s)) = 0.
\]
由于 $\tau(s)$ 是标量，可以提取出来，得到
\[
(\overrightarrow{r}(s) - \overrightarrow{R_0}) \cdot \overrightarrow{n}(s) = 0.
\]
步骤 4：分析结果
上式表明 $\overrightarrow{r}(s) - \overrightarrow{R_0}$ 垂直于主法向量 $\overrightarrow{n}(s)$。由于 $\overrightarrow{r}(s) - \overrightarrow{R_0}$ 已经垂直于副法向量 $\overrightarrow{b}(s)$，所以 $\overrightarrow{r}(s) - \overrightarrow{R_0}$ 必须平行于切向量 $\overrightarrow{t}(s)$。这意味着曲线 $\overrightarrow{r}(s)$ 在每个点处的法向量都垂直于同一个向量 $\overrightarrow{r}(s) - \overrightarrow{R_0}$，因此曲线 $\overrightarrow{r}(s)$ 必须在一个平面上。