6.函数f(x)在x=0的某邻域内有定义，则“lim_(x to 0) (|f(x)|)/(x)存在”是“lim_(x to 0) (f(x))/(x)=0”的A. 充分必要条件.B. 充分非必要条件.C. 必要非充分条件.D. 既非充分也非必要条件.

本题考查函数极限的性质以及充分必要条件的判断。解题的关键在于分别分析“$\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$存在”能否推出“$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=0$”以及“$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=0$”能否推出“$\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$存在”。

充分性证明（由“$\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$存在”推出“$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=0$”）

已知$\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$存在，因为$\lim_{x \to 0^+} \frac{|f(x)|}{x}$和$\lim_{x \to 0^-} \frac{|f(x)|}{x}$都存在且相等。

• 当$x\to 0^+$时，$\frac{|f(x)|}{x}\geqslant0$，根据极限的保号性，若$\lim_{x \to 0^+} \frac{|f(x)|}{x}=A$，则$A\geqslant0$。
• 当$x\to 0^-$时，$\frac{|f(x)|}{x}\leqslant0$，根据极限的保号性，若$\lim_{x \to 0^-} \frac{|f(x)|}{x}=A$，则$A\leqslant0$。
  所以$A = 0$，即$\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}=0$。
  又因为$0\leqslant\left|\frac{f(x)}{x}\right|=\frac{|f(x)|}{x}$，由夹逼准则可得$\lim_{x \to 0} \left|\frac{f(x)}{x}\right| = 0$，而$\lim_{x \to 0} \left|\frac{f(x)}{x}\right| = 0$等价于$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=0$，充分性得证。

必要性证明（由“$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=0$”推出“$\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$存在”）

已知$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=0$，则$\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}=\lim_{x \to 0} \left|\frac{f(x)}{x}\right|\cdot|x|$。
根据极限的乘法法则$\lim_{x \to a}[f(x)\cdot g(x)]=\lim_{x \to a}f(x)\cdot\lim_{x \to a}g(x)$（当两个极限都存在时），因为$\lim_{x \to 0} \left|\frac{f(x)}{x}\right| = 0$，$\lim_{x \to 0}|x| = 0$，所以$\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}=0$，即$\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$存在，必要性得证。