题目

16.画出下列各平面所围成的立体的图形:-|||-(1) =0, y=0 =0 x=2 =1, +4y+2z-12=0;-|||-(2) x=0 =0 =1 =2, =dfrac (y)(4).

题目解答

本题主要考查根据给定的平面方程绘制其所围成的立体图形，解题的关键在于理解每个平面方程的几何意义，确定各平面在空间中的位置，然后找出它们的交线，从而确定立体图形的形状。

（1）对于平面 $x = 0$，$y = 0$，$z = 0$，$x = 2$，$y = 1$，$3x + 4y + 2z - 12 = 0$

平面 $x = 0$：这是 $yOz$ 平面，即空间中所有 $x$ 坐标为 $0$ 的点构成的平面。
平面 $y = 0$：这是 $xOz$ 平面，即空间中所有 $y$ 坐标为 $0$ 的点构成的平面。
平面 $z = 0$：这是 $xOy$ 平面，即空间中所有 $z$ 坐标为 $0$ 的点构成的平面。
平面 $x = 2$：这是一个平行于 $yOz$ 平面且与 $x$ 轴交于点 $(2,0,0)$ 的平面。
平面 $y = 1$：这是一个平行于 $xOz$ 平面且与 $y$ 轴交于点 $(0,1,0)$ 的平面。
平面 $3x + 4y + 2z - 12 = 0$：可将其化为截距式方程 $\frac{x}{4}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=1$，它与 $x$ 轴交于点 $(4,0,0)$，与 $y$ 轴交于点 $(0,3,0)$，与 $z$ 轴交于点 $(0,0,6)$。

接下来求各平面的交线：

$x = 0$ 与 $y = 0$ 的交线为 $z$ 轴。
$x = 0$ 与 $z = 0$ 的交线为 $y$ 轴。
$y = 0$ 与 $z = 0$ 的交线为 $x$ 轴。
$x = 2$ 与 $y = 1$ 的交线是平行于 $z$ 轴的直线，将 $x = 2$，$y = 1$ 代入 $3x + 4y + 2z - 12 = 0$，可得 $3\times2 + 4\times1 + 2z - 12 = 0$，即 $6 + 4 + 2z - 12 = 0$，$2z = 2$，解得 $z = 1$，所以交线过点 $(2,1,1)$。
$x = 2$ 与 $3x + 4y + 2z - 12 = 0$ 的交线，将 $x = 2$ 代入 $3x + 4y + 2z - 12 = 0$ 得 $6 + 4y + 2z - 12 = 0$，即 $2y+z - 3 = 0$，$z = 3 - 2y$，这是一条在 $x = 2$ 平面上的直线。
$y = 1$ 与 $3x + 4y + 2z - 12 = 0$ 的交线，将 $y = 1$ 代入 $3x + 4y + 2z - 12 = 0$ 得 $3x + 4 + 2z - 12 = 0$，即 $3x+2z - 8 = 0$，$z=\frac{8 - 3x}{2}$，这是一条在 $y = 1$ 平面上的直线。

综合以上各平面的位置和交线，可画出由这些平面所围成的立体图形，其形状是一个在第一卦限内的六面体。

（2）对于平面 $x = 0$，$z = 0$，$x = 1$，$y = 2$，$z=\frac{y}{4}$

求各平面的交线：

$x = 0$ 与 $z = 0$ 的交线为 $y$ 轴。
$x = 0$ 与 $y = 2$ 的交线是平行于 $z$ 轴的直线，将 $x = 0$，$y = 2$ 代入 $z=\frac{y}{4}$，得 $z=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，所以交线过点 $(0,2,\frac{1}{2})$。
$x = 0$ 与 $z=\frac{y}{4}$ 的交线就是 $z=\frac{y}{4}$ 在 $x = 0$ 平面（即 $yOz$ 平面）上的部分。
$z = 0$ 与 $x = 1$ 的交线是平行于 $y$ 轴的直线，即 $x = 1$，$z = 0$。
$z = 0$ 与 $y = 2$ 的交线是平行于 $x$ 轴的直线，即 $y = 2$，$z = 0$。
$x = 1$ 与 $y = 2$ 的交线是平行于 $z$ 轴的直线，将 $x = 1$，$y = 2$ 代入 $z=\frac{y}{4}$，得 $z=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，所以交线过点 $(1,2,\frac{1}{2})$。
$x = 1$ 与 $z=\frac{y}{4}$ 的交线，将 $x = 1$ 代入 $z=\frac{y}{4}$，得到 $z=\frac{y}{4}$ 在 $x = 1$ 平面上的直线。
$y = 2$ 与 $z=\frac{y}{4}$ 的交线是平行于 $x$ 轴的直线，$y = 2$，$z=\frac{1}{2}$。

综合以上各平面的位置和交线，可画出由这些平面所围成的立体图形，其形状是一个在第一卦限内的四棱锥。