函数的不定积分与定积分本质上是一样的A. 对B. 错

本题考查不定积分与定积分的本质区别，解题思路是分别明确不定积分和定积分的定义，然后对比二者的本质特征。

不定积分的定义

设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，如果存在函数$F(x)$，使得在区间$I$上的每一点都有$F^\prime(x)=f(x)$，那么函数$F(x)$就称为$f(x)$在区间$I$上的一个原函数。$f(x)$在区间$I$上的全体原函数称为$f(x)$在区间$I$上的不定积分，记作$\int f(x)dx$，即$\int f(x)dx = F(x)+C$，其中$C$为任意常数。从定义可以看出，不定积分的结果是一族函数，它表示的是所有导数为$f(x)$的函数的集合。

定积分的定义

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有界，在$[a,b]$中任意插入若干个分点$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n - 1} < x_n = b$，把区间$[a,b]$分成$n$个小区间$[x_{i - 1},x_i]$，其长度为$\Delta x_i = x_i - x_{i - 1}$，在每个小区间$[x_{i - 1},x_i]$上任取一点$\xi_i$，作和式$\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$，记$\lambda = \max\{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n\}$，如果当$\lambda \to 0$时，和式$\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$的极限存在，且这个极限值与区间$[a,b]$的分法及点$\xi_i$的取法无关，那么称这个极限值为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，记作$\int_{a}^{b}f(x)dx$，即$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim\limits_{\lambda \to 0}\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$。定积分的结果是一个确定的数值，它表示的是一个和式的极限。

对比二者本质

由上述定义可知，不定积分是函数族，而定积分是一个确定的数值，二者本质上是不同的。