题目
要造一圆柱形油罐,体积为V,问底半径r和高h等于多少时,才能使表面积最-|||-小?这时底直径与高的比是多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定圆柱形油罐的体积和表面积公式
圆柱形油罐的体积 $V$ 可以表示为底面积乘以高，即 $V = \pi r^2 h$。圆柱形油罐的表面积 $A$ 包括底面积和侧面积，即 $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$。
步骤 2：将体积公式代入表面积公式
由体积公式 $V = \pi r^2 h$ 可得 $h = \frac{V}{\pi r^2}$。将 $h$ 的表达式代入表面积公式，得到 $A = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{V}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$。
步骤 3：求表面积的极值
对表面积 $A$ 关于 $r$ 求导，得到 $A' = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}$。令 $A' = 0$，解得 $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$。对 $A$ 再次求导，得到 $A'' = 4\pi + \frac{4V}{r^3}$。将 $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ 代入 $A''$，得到 $A'' = 12\pi > 0$，说明 $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ 是极小值点，即表面积最小值点。
步骤 4：计算高 $h$ 和底直径与高的比
将 $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ 代入 $h = \frac{V}{\pi r^2}$，得到 $h = 2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$。底直径与高的比为 $2r:h = 1:1$。
圆柱形油罐的体积 $V$ 可以表示为底面积乘以高，即 $V = \pi r^2 h$。圆柱形油罐的表面积 $A$ 包括底面积和侧面积，即 $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$。
步骤 2：将体积公式代入表面积公式
由体积公式 $V = \pi r^2 h$ 可得 $h = \frac{V}{\pi r^2}$。将 $h$ 的表达式代入表面积公式，得到 $A = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{V}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$。
步骤 3：求表面积的极值
对表面积 $A$ 关于 $r$ 求导，得到 $A' = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}$。令 $A' = 0$，解得 $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$。对 $A$ 再次求导，得到 $A'' = 4\pi + \frac{4V}{r^3}$。将 $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ 代入 $A''$，得到 $A'' = 12\pi > 0$，说明 $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ 是极小值点，即表面积最小值点。
步骤 4：计算高 $h$ 和底直径与高的比
将 $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ 代入 $h = \frac{V}{\pi r^2}$，得到 $h = 2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$。底直径与高的比为 $2r:h = 1:1$。