题目
1.[单选题]函数F(x)=}0,x<0sin x,0le x<pi1,xge piA 是某一离散型随机变量的分布函数B 是某一连续型随机变量的分布函数C 不可能为某一随机变量的分布函数D 以上说法都不对
1.[单选题]
函数$F(x)=\begin{cases}0,x<0\\\sin x,0\le x<\pi\\1,x\ge \pi\end{cases}$
A 是某一离散型随机变量的分布函数
B 是某一连续型随机变量的分布函数
C 不可能为某一随机变量的分布函数
D 以上说法都不对
题目解答
答案
函数 $F(x)$ 定义为：
$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \sin x, & 0 \leq x < \pi \\ 1, & x \geq \pi \end{cases}$
我们需要判断其是否满足分布函数的性质：
-
非降性：
- 在 $[0, \pi/2]$ 上，$\sin x$ 单调递增；
- 在 $[\pi/2, \pi)$ 上，$\sin x$ 单调递减，但 $F(x)$ 从 1 减至 0，违反非降性。
- 故 $F(x)$ 在 $[0, \pi)$ 内不满足非降性。
-
右连续性：
- $F(x)$ 在 $x = 0$ 和 $x = \pi$ 处均右连续。
-
极限性质：
- $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$，$\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$，满足。
-
取值范围：
- $F(x) \in [0, 1]$，满足。
结论：
$F(x)$ 在 $[0, \pi)$ 内不满足非降性，无法作为分布函数。
答案：C. 不可能为某一随机变量的分布函数。
解析
分布函数的性质是判断本题的关键：
- 非降性：函数在整个实数域上必须单调不减；
- 右连续性：函数在任意点处右极限等于该点函数值；
- 极限条件：$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$，$\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$；
- 取值范围：$F(x) \in [0, 1]$。
破题关键在于分析函数$F(x)$是否满足非降性。观察$F(x)$在区间$[0, \pi)$内的行为：$\sin x$在$[0, \pi/2]$递增，在$[\pi/2, \pi)$递减，导致$F(x)$在$[\pi/2, \pi)$内不满足非降性，从而直接排除所有选项中的可能性。
非降性分析
- 区间$x < 0$：$F(x) = 0$，满足非降性。
- 区间$0 \leq x < \pi$：
- 当$0 \leq x \leq \pi/2$时，$\sin x$递增；
- 当$\pi/2 < x < \pi$时，$\sin x$递减。
- 例如，取$x_1 = \pi/2$（$F(x_1) = 1$）和$x_2 = 3\pi/4$（$F(x_2) = \sin(3\pi/4) = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$），显然$F(x_2) < F(x_1)$，违反非降性。
- 区间$x \geq \pi$：$F(x) = 1$，满足非降性。
其他性质验证
- 右连续性：
- $x = 0$处：$\lim_{x \to 0^+} F(x) = \sin 0 = 0 = F(0)$；
- $x = \pi$处：$\lim_{x \to \pi^+} F(x) = 1 = F(\pi)$；
- 区间内部连续，满足右连续性。
- 极限条件：
- $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$，$\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$。
- 取值范围：
- $F(x) \in [0, 1]$。
结论：$F(x)$因区间$[\pi/2, \pi)$内递减，不满足非降性，故不可能为任何随机变量的分布函数。