2.一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在南偏东30°，行驶一段时间后，到达C处看到灯塔B在南偏西60°，此时测得船与灯塔的距离为30sqrt(3)km，则行驶时间是（）A.2h B.3h C.4h D.5h

题目分析

首先，我们需要根据题意将文字描述转化为几何图形中的已知条件。

1. 确定航行方向与方位角：

   • 船以每小时 $20\text{ km}$ 的速度向东航行，说明航线 $AC$ 是一条正东方向的直线。
   • 在 $A$ 处，灯塔 $B$ 在南偏东 $30^\circ$。正南方向与正东方向（航线）的夹角是 $90^\circ$。南偏东 $30^\circ$ 意味着从正南方向向东偏转 $30^\circ$，所以灯塔 $B$ 与正东方向（即 $AC$ 方向）的夹角为 $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$。也就是说，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle CAB = 60^\circ$。
   • 到达 $C$ 处时，灯塔 $B$ 在南偏西 $60^\circ$。同理，正南方向与正西方向（即 $CA$ 方向）的夹角是 $90^\circ$。南偏西 $60^\circ$ 意味着从正南方向向西偏转 $60^\circ$，所以灯塔 $B$ 与正西方向（即 $CA$ 方向）的夹角为 $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$。也就是说，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 30^\circ$。

2. 分析三角形 $\triangle ABC$：

   • 已知 $\angle CAB = 60^\circ$，$\angle ACB = 30^\circ$。
   • 根据三角形内角和定理，$\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ$。所以 $\triangle ABC$ 是一个直角三角形。
   • 题目已知此时（在 $C$ 处）测得船与灯塔的距离为 $30\sqrt{3}\text{ km}$，即边 $BC = 30\sqrt{3}\text{ km}$。
   • 我们需要求的是行驶时间 $x$ 小时，那么航行的距离 $AC = 20x\text{ km}$。

计算过程

在直角 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 90^\circ$，$\angle CAB = 60^\circ$，$\angle ACB = 30^\circ$。
已知对边 $BC$ （$\angle CAB$ 的对边）和斜边 $AC$ （直角 $\angle ABC$ 的对边）的关系：

$\sin(\angle CAB) = \frac{BC}{AC}$

代入已知数值：

$\sin 60^\circ = \frac{30\sqrt{3}}{AC}$

我们知道 $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$，所以：

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{30\sqrt{3}}{AC}$

解这个方程求 $AC$：

$AC = \frac{30\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 30\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 60\text{ (km)}$

船的速度为 $20\text{ km/h}$，所以行驶时间 $x$ 为：

$x = \frac{AC}{\text{速度}} = \frac{60\text{ km}}{20\text{ km/h}} = 3\text{ (h)}$

结论

行驶时间为 $3$ 小时。

对应选项为 B。