设为标准正态分布函数,且,相互独立。令,则由中心极限定理知的分布函数近似于( B )。A. B. C. D.三(1)、已知5%的男性和0.25%的女性是色盲,假设男性女性各占一半。现随机地挑选一人,求此人恰好是色盲者的概率。设A:表示此人是男性; B:表示此人是色盲。则所求的概率为答:此人恰好是色盲的概率为0.02625。三(2)、已知5%的男性和0.25%的女性是色盲,假设男性女性各占一半。若随机地挑选一人,发现此人不是色盲,问此人是男性的概率。设A:表示此人是男性; B:表示此人是色盲。则所求的概率为答:此人是男人的概率为0.4878。 。三(3)、一袋中装有10个球,其中3个白球,7个红球。现从中采用不放回方式摸球两次,每次一个,求第二次取得白球的概率。解 设表示表示第i次取得白球,i=1,2。则所求事件的概率为答:第二次取得白球的概率为3/10。三(4)、一袋中装有10个球,其中3个白球,7个红球。现从中采用不放回方式摸球两次,每次一个,若第二次取得白球,则第一次也是白球的概率。解 设表示表示第i次取得白球,i=1,2 。则所求事件的概率为答:第二次摸得白球,第一次取得也是白球的概率为2/9。三(5)、市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货,其供应量第一厂家为第二厂家的两倍,第二、第三厂家相等,且第一、第二、第三厂家的次品率依次为2%,2%,4%。若在市场上随机购买一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率为多少?解 设表示产品由第i家厂家提供,i=1, 2, 3;B表示此产品为次品。则所求事件的概率为=答:该件商品是第一产家生产的概率为0.4。三(6)、甲、乙、丙三车间加工同一产品,加工量分别占总量的25%、35%、40%,次品率分别为0.03、0.02、0.01。现从所有的产品中抽取一个产品,试求(1)该产品是次品的概率;(2)若检查结果显示该产品是次品,则该产品是乙车间生产的概率是多少?

解:设,,表示甲乙丙三车间加工的产品,B表示此产品是次品。

(1)所求事件的概率为

(2)

答:这件产品是次品的 概率为0.0185,若此件产品是次品,则该产品是乙车间生产的概率为0.38。

三(7)、一个机床有1/3的时间加工零件A,其余时间加工零件B。加工零件A时停机的概率是0.3,加工零件A时停机的概率是0.4。求(1)该机床停机的概率;(2)若该机床已停机,求它是在加工零件A时发 生停机的概率。

解:设,,表示机床在加工零件A或B,D表示机床停机。

(1)机床停机夫的概率为

(2)机床停机时正加工零件A的概率为

三(8)、甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件,各机床加工的零件数量之比为5:3:2,各机床所加工的零件合格率依次为94%,90%,95%。现从加工好的整批零件中随机抽查一个,发现是废品,判断它是由甲机床加工的概率。

解 设,,表示由甲乙丙三机床加工,B表示此产品为废品。(2分)

则所求事件的概率为

=

答:此废品是甲机床加工概率为3/7。

三(9)、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具,其概率分别为5%、15%、30%、50%,乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100%、70%、60%、90%。已知该人误期到达,求他是乘坐火车的概率。 (10分)

解:设,,,分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具,B表示误期到达。

则

=

答:此人乘坐火车的概率为0.209。

三(10)、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具,其概率分别为5%、15%、30%、50%,乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100%、70%、60%、90%。求该人如期到达的概率。

解:设,,,分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具,B表示如期到达。

则

答:如期到达的概率为0.785。

四(1)设随机变量X的概率密度函数为

求(1)A; (2)X的分布函数F (x); (3) P (0.5 < X <2 )。

解:

(3) P(1/2<X<2)=F(2)—F(1/2)=3/4

四(2)、已知连续型随机变量X的概率密度为

求(1)k ;(2)分布函数F (x); (3)P (1.5 <X <2.5)

解:

(3) P(1.5<X<2.5)=F(2.5)—F(1.5)=1/16

四(3)、已知连续型随机变量X的概率密度为

求(1)a;(2)X的分布函数F (x);(3)P ( X >0.25)。

解:

(3) P(X>1/4)=1—F(1/4)=7/8

四(4)、已知连续型随机变量X的概率密度为

求(1)A;(2)分布函数F (x);(3)P (-0.5 < X <1)。 )

解:

(3) P(-0.5<X<1)=F(1)—F(-0.5)=1

四(5)、已知连续型随即变量X的概率密度为

求(1)c; (2)分布函数F (x);(3) P (-0.5 < X < 0.5)。

解:

(3) P(-0.5<X<0.5)=F(0.5)—F(-0.5)=1/3

四(6)、已知连续型随机变量X的分布函数为

求(1)A,B; (2)密度函数f (x);(3)P (1<X<2 )。

解:

(3) P(1<X<2)=F(2)—F(1)=

四(7)、已知连续型随机变量X的分布函数为

求(1)A,B; (2)密度函数f (x);(3)P (1<X<2 )。

解:

(3) P(0<X<2)=F(2)—F(0)=

四(8)、已知连续型随机变量X的分布函数为

求(1)A; (2)密度函数f (x);(3)P (0< X< 0.25 )。

解:

(3) P(0<X<0.25)=1/2

四(9)、已知连续型随机变量X的分布函数为

求(1)A; (2)密度函数f (x);(3)P (0 ≤ X ≤ 4 )。

、解:

(3) P(0<X<4)=3/4

四(10)、已知连续型随机变量X的密度函数为

求(1)a; (2)分布函数F (x);(3)P (-0.5 < X < 0.5 )。

解:

(3) P(-0.5<X<0.5)=F(0.5)—F(-0.5)=

五(1)、设系统L由两个相互独立的子系统L,L并联而成,且L、L的寿命分别服从参数为的指数分布。求系统L的寿命Z的密度函数。

解:令X、Y分别为子系统L、L的寿命,则系统L的寿命Z=max (X, Y)。

显然,当z≤0时,F(z)=P (Z≤z)=P (max (X, Y)≤z)=0;

当z>0时,F(z)=P (Z≤z)=P (max (X, Y)≤z)

=P (X≤z, Y≤z)=P (X≤z)P (Y≤z)==。

因此,系统L的寿命Z的密度函数为

f1(z)=

五(2)、已知随机变量X~N(0,1),求随机变量Y=X Z 的密度函数。

解:当y≤0时,F Z (y)=P (Y≤y)=P (X ≤y)=0;

当y>0时,F(y)=P (Y≤y)=P (X ≤y)=

=

因此,f Z (y)=

五(3)、设系统L由两个相互独立的子系统L2、L串联而成,且L、L的寿命分别服从参数为的指数分布。求系统L的寿命Z的密度函数。

解:令X、Y分别为子系统L Y 、L2的寿命,则系统L的寿命Z=min (X, Y)。

显然,当z≤0时,F Y (z)=P (Z≤z)=P (min (X, Y)≤z)=0;

当z>0时,F(z)=P (Z≤z)=P (min (X, Y)≤z)=1-P (min (X, Y)>z)

=1-P (X>z, Y>z)=1-P (X>z)P (Y>z)==。

因此,系统L的寿命Z的密度函数为

f1(z)=

五(4)、已知随机变量X~N(0,1),求Y=|X|的密度函数。

解:当y≤0时,F Z (y)=P (Y≤y)=P (|X |≤y)=0;

当y>0时,F(y)=P (Y≤y)=P (|X |≤y)=

=

因此,f Z (y)=

五(5)、设随机向量(X,Y)联合密度为

f(x, y)=

(1) 求系数A;

(2) 判断X,Y是否独立,并说明理由;

(3) 求P{ 0≤X≤2,0≤Y≤1}。

解:

(1)由1=

= 可得A=6。

(2)因(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度分别为

f(x)= 和 f(y)= ,

则对于任意的 均成立f (x, y)= f(x)* f(y),所以X与Y独立。

(3)P{ 0≤X≤2,0≤Y≤1}=

=

五(6)、设随机向量(X,Y)联合密度为

f (x, y)=

(1) 求系数A;

(2) 判断X,Y是否独立,并说明理由;

(3) 求P{ 0≤X≤1,0≤Y≤1}。

解:(1)由1=

= 可得A=12。

(2)因(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度分别为

f(x)= 和 f(y)= ,

则对于任意的 均成立f (x, y)= f(x)* f(y),所以X与Y独立。

(3)P{ 0≤X≤1,0≤Y≤1}=

=

五(7)、设随机向量(X,Y)联合密度为

f(x, y)=

(1) 求(X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度fX (x),fY(y);

(2) 判断X,Y是否独立,并说明理由。

解:(1)当x<0或x>1时,f(x)=0;

当0≤x≤1时,f(x)=

因此,(X,Y)关于X的边缘概率密度f(x)=

当y<0或y>1时,fXY(y)=0;

当0≤y≤1时,f(y)=

因此,(X,Y)关于Y的边缘概率密度fX (y)=

(2)因为f (1/2, 1/2)=3/2,而fX (1/2) f(1/2)=(3/2)*(3/4)=9/8≠f (1/2, 1/2),

所以,X与Y不独立。

五(8)、设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为

f (x, y)=

(1) 求(X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度fY (x),f(y);

(2) 判断X与Y是否相互独立,并说明理由。

解:(1)当x≤0时,f(x)=0;

当x>0时,f(x)=

因此,(X,Y)关于X的边缘概率密度f(x)=

当y≤0时,fXY(y)=0;

当y>0时,f(y)=

因此,(X,Y)关于Y的边缘概率密度fX (y)=

(2)因为f (1, 2)=eX ,而f(1) f(2)=e*2e=2 e≠f (1, 2),

所以,X与Y不独立。

五(9)、设随机变量X的概率密度为

设F(x)是X的分布函数,求随机变量Y=F(X)的密度函数。

解:当y<0时,F-(y)=P (Y≤y)=P (F(X )≤y)=0;

当y>1时,F(y)=P (Y≤y)=P (F(X )≤y)=1;

当0≤y≤1时,F(y)=P (Y≤y)=P ((F(X )≤y)=

=

因此,f(y)=

五(10)、设随机向量(X,Y)联合密度为

f(x, y)=

(1)求(X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度f Y (x),f(y);

(2)判断X,Y是否独立,并说明理由。

解:(1)当x<0或x>1时,f Y (x)=0;

当0≤x≤1时,f(x)=

因此,(X,Y)关于X的边缘概率密度f(x)=

当y<0或y>1时,fXY(y)=0;

当0≤y≤1时,f(y)=

因此,(X,Y)关于Y的边缘概率密度fX (y)=

(2)因为f (1/2, 1/2)=2,而fX (1/2) f(1/2)=(3/2)*(1/2)=3/4≠f (1/2, 1/2),

所以,X与Y不独立。

六(1)、已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为

求随机向量(X+Y, X—Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解:D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=7+9+2*6=28

D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=7+9-2*6=4

Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =7-9= -2

所以,(X+Y, X—Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为

和

六(2)、已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为

求随机向量(X+Y, X—Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解:D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+1+2*2=14

D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+1-2*2=6

Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =9-1=8

所以,(X+Y, X—Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为

和

六(3)、已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为

求随机向量(X—Y, X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解:D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+6-2*(-6)=27

D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+6+2*(-6)=3

Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =9-6= 3

所以,(X—Y, X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为