题目
设 iint_(D) f(x, y)dx dy = int_(0)^1 dx int_(0)^1-x f(x, y)dy，则改变其积分次序后为A. int_(0)^1-x dy int_(0)^1 f(x, y)dx；B. int_(0)^1 dy int_(0)^1-x f(x, y)dx；C. int_(0)^1 dy int_(0)^1 f(x, y)dx；D. int_(0)^1 dy int_(0)^1-y f(x, y)dx。
设 $\iint_{D} f(x, y)dx dy = \int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1-x} f(x, y)dy$，则改变其积分次序后为
A. $\int_{0}^{1-x} dy \int_{0}^{1} f(x, y)dx$；
B. $\int_{0}^{1} dy \int_{0}^{1-x} f(x, y)dx$；
C. $\int_{0}^{1} dy \int_{0}^{1} f(x, y)dx$；
D. $\int_{0}^{1} dy \int_{0}^{1-y} f(x, y)dx$。
题目解答
答案
D. $\int_{0}^{1} dy \int_{0}^{1-y} f(x, y)dx$。
解析
步骤 1：确定积分区域
原积分区域由 $0 \leq x \leq 1$ 和 $0 \leq y \leq 1-x$ 定义，表示一个直角三角形（顶点为 $(0,0)$、$(1,0)$、$(0,1)$）。
步骤 2：改变积分次序
对于固定的 $y$（范围为 $0$ 到 $1$），$x$ 的范围从 $0$ 到 $1-y$。因此，新积分为： \[ \int_{0}^{1} dy \int_{0}^{1-y} f(x,y) \, dx \]
步骤 3：选择正确答案
根据步骤 2 的分析，正确答案为 D。
原积分区域由 $0 \leq x \leq 1$ 和 $0 \leq y \leq 1-x$ 定义，表示一个直角三角形（顶点为 $(0,0)$、$(1,0)$、$(0,1)$）。
步骤 2：改变积分次序
对于固定的 $y$（范围为 $0$ 到 $1$），$x$ 的范围从 $0$ 到 $1-y$。因此，新积分为： \[ \int_{0}^{1} dy \int_{0}^{1-y} f(x,y) \, dx \]
步骤 3：选择正确答案
根据步骤 2 的分析，正确答案为 D。