真空中一长直导线通有电流I,如题3-7-1图所示。求回路abcd和klmn交链的磁通。cì-|||-m-|||-a af 2a-|||-f-|||-a at2 d b-|||--a-|||-来 n-|||-a/4

本题主要考察安培环路定律在长直载流导线磁场中的应用，以及磁通量的计算方法，需区分导线内部和外部磁场的不同表达式，并通过积分求解穿过给定回路的的磁通量。

关键知识点

1. 长直载流导线的磁场分布

   • 导线外部（$r \geq a$，$a\alpha$为导线半径）：由安培环路定律$\oint \vec{H} \cdot d\vec{l}=I\II\frac{I}{\pi a^2}\pi r^2$，得$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$（$I'$为内部电流）。
   • 导线内部（$r < a$）：$B=\frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2}$（$I'$为半径$r$内的电流$I'=\frac{I}{\pi a^2}\pi r^2=\frac{I r^2}{a^2}$）。

2. 磁通量计算：$\Phi=\int \vec{B} \cdot d\vec{S}$，需根据磁场分布分段积分。

回路abcd的磁通量

回路abcd完全在导线外部（假设$r \geq a$），磁场均匀，面积$S$，则：
$\Phi_{abcd}=B \cdot S=\frac{\mu_0 I}{2a}{2\pi a}\cdot a=\frac{\mu_0 I a}{2\pi}$

回路klmn的磁通量

回路部分在导线内（$0$到$a\a}$，部分在外部（$a$到$2a$）：

• 内部积分（$0$到$a$）：$B=\int_0^a \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2} \cdot 2\pi r dr=\frac{\mu_0 I}{a^2}\int_0^a r^2 dr=\frac{\mu_0 I a}{4\pi}$
• 外部积分（$a$到$2a$）：$\int_a^{2a} \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \cdot 2\pi r dr=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\int_a^{2a} dr=\frac{\mu_0 I a}{2\pi}\ln2$

总磁通量：
$\Phi_{klmn}=\frac{\mu_0 I a}{4\pi}+\frac{\mu_0 I a}{2\pi}\ln2=\frac{\mu_0 I a}{4\pi}(1+2\ln2)$