(1)设随机变量X的分布律为-|||-X - 2 . 0 2-|||-pk 0.4 0.3 0.3-|||-求E(X),E(X ^2), (3(X)^2+5).-|||-(2)设 sim pi (lambda ), 求 (dfrac (1)(X+1)).

考查要点

1. 数学期望的定义与计算：根据随机变量的分布律，直接计算期望值。
2. 函数的数学期望性质：利用 $E(aX^2 + b) = aE(X^2) + b$ 的线性性质简化计算。
3. 泊松分布的期望性质：直接应用泊松分布的期望公式 $E(X) = \lambda$。

解题核心思路

• 问题（1）：
  • 直接代入公式计算 $E(X)$ 和 $E(X^2)$。
  • 利用线性性质快速计算 $E(3X^2 + 5)$。
• 问题（2）：
  • 直接应用泊松分布的期望公式，结合线性性质求解。

破题关键点

• 问题（1）中注意取值与概率的对应关系，避免计算错误。
• 问题（2）中避免复杂求和，直接利用已知分布的期望性质。

第（1）题

求 $E(X)$

根据数学期望的定义：
$E(X) = \sum x_i p_i = (-2) \times 0.4 + 0 \times 0.3 + 2 \times 0.3 = -0.8 + 0 + 0.6 = -0.2$

求 $E(X^2)$

根据函数的数学期望公式：
$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i = (-2)^2 \times 0.4 + 0^2 \times 0.3 + 2^2 \times 0.3 = 4 \times 0.4 + 0 + 4 \times 0.3 = 1.6 + 1.2 = 2.8$

求 $E(3X^2 + 5)$

利用数学期望的线性性质：
$E(3X^2 + 5) = 3E(X^2) + 5 = 3 \times 2.8 + 5 = 8.4 + 5 = 13.4$

第（2）题

求 $E(X+1)$

泊松分布 $X \sim \pi(\lambda)$ 的期望为 $E(X) = \lambda$，因此：
$E(X+1) = E(X) + E(1) = \lambda + 1$