21.设随机变量X的概率密度为-|||-(1) f(x)= ^2))cdot 1leqslant xleqslant 2 0 .-|||-求x的分布函数F (x),并画出(2) 2)中f(x)及F(x)的图形.

考查要点：本题主要考查概率密度函数与分布函数的关系，以及分段函数积分的计算。需要掌握分布函数的定义，即概率密度函数在区间上的积分，并根据不同区间分段讨论。

解题思路：

1. 分布函数定义：分布函数$F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt$，需根据$f(x)$的分段区间分段计算。
2. 分段积分：根据$f(x)$的非零区间，将积分区间划分为多个部分，逐段计算并累加。
3. 连续性验证：确保分布函数在分段点处连续，验证计算结果的合理性。

破题关键：

• 区间划分：明确$f(x)$的非零区间，确定积分上下限。
• 积分计算：正确计算各分段的积分，注意代数运算的准确性。
• 图形绘制：理解$f(x)$的分段线性特性，以及$F(x)$的单调递增性和连续性。

（1）求$f(x) = \begin{cases} 2\left(1 - \dfrac{1}{x^2}\right), & 1 \leq x \leq 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$的分布函数

当$x < 1$时

$f(x) = 0$，故：
$F(x) = \int_{-\infty}^x 0 \, dt = 0$

当$1 \leq x \leq 2$时

积分从$-\infty$到$x$，但$f(t)$仅在$[1,2]$非零，因此：
$F(x) = \int_{1}^x 2\left(1 - \dfrac{1}{t^2}\right) dt = 2\left[ t + \dfrac{1}{t} \right]_1^x = 2\left( x + \dfrac{1}{x} - 2 \right)$

当$x > 2$时

积分到$2$时概率已全部累加，故：
$F(x) = \int_{1}^2 2\left(1 - \dfrac{1}{t^2}\right) dt = 1$

（2）求$f(x) = \begin{cases} x, & 0 \leq x < 1 \\ 2 - x, & 1 \leq x < 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$的分布函数

当$x < 0$时

$f(x) = 0$，故：
$F(x) = 0$

当$0 \leq x < 1$时

积分从$0$到$x$：
$F(x) = \int_{0}^x t \, dt = \dfrac{x^2}{2}$

当$1 \leq x < 2$时

积分分为两部分：
$F(x) = \int_{0}^1 t \, dt + \int_{1}^x (2 - t) dt = \dfrac{1}{2} + \left[ 2t - \dfrac{t^2}{2} \right]_1^x = 2x - \dfrac{x^2}{2} - 1$

当$x \geq 2$时

积分到$2$时概率为1：
$F(x) = 1$