例 12-11 半径为r、质量为m的均质圆轮沿水平直线滚动,如图 12-25 所示。设轮-|||-的惯性半径为ρc,作用于圆轮的力偶矩为M。求轮心的加速度。如果圆轮对地面的静滑动-|||-摩擦因数为f,,力力偶矩M必须符合什么条件方不致使圆轮滑动?-|||-M α-|||-C ac-|||-g-|||-F-|||-_________________ x-|||-FF-|||-图 12-25

考查要点：本题主要考查刚体平面运动的动力学分析，涉及平移运动与转动的结合，以及滚动而不滑动的条件。

解题核心思路：

1. 受力分析：圆轮受重力、支持力、静摩擦力及力偶矩作用。
2. 运动约束条件：纯滚动时，轮心加速度 $a_c$ 与角加速度 $\alpha$ 满足 $a_c = r\alpha$。
3. 动力学方程：通过牛顿第二定律和转动定律建立方程，联立求解。
4. 不滑动条件：静摩擦力不超过最大静摩擦力，即 $F \leq f F_N$。

破题关键点：

• 转动惯量的表达：利用惯性半径 $\rho_c$，转动惯量 $I = m\rho_c^2$。
• 联立方程：结合平移和转动方程，消去中间变量 $F$，直接求解 $a_c$。
• 条件转化：将静摩擦力限制条件转化为对 $M$ 的限制。

受力分析与运动关系

1. 平移运动：轮心加速度 $a_c$ 由静摩擦力 $F$ 产生，根据牛顿第二定律：
   $F = m a_c$
2. 转动运动：力偶矩 $M$ 和摩擦力矩 $F r$ 共同作用，根据转动定律：
   $M - F r = I \alpha$
   其中转动惯量 $I = m\rho_c^2$，且纯滚动条件 $a_c = r\alpha$，即 $\alpha = \frac{a_c}{r}$。

联立方程求解

将 $\alpha = \frac{a_c}{r}$ 和 $I = m\rho_c^2$ 代入转动方程：
$M - F r = m\rho_c^2 \cdot \frac{a_c}{r}$
再将 $F = m a_c$ 代入上式：
$M - m a_c r = m\rho_c^2 \cdot \frac{a_c}{r}$
整理得：
$M = m a_c \left( r + \frac{\rho_c^2}{r} \right)$
解得轮心加速度：
$a_c = \frac{M r}{m \left( r^2 + \rho_c^2 \right)}$

滚动而不滑动的条件

静摩擦力 $F = m a_c$ 代入不滑动条件 $F \leq f F_N$，其中 $F_N = mg$：
$m a_c \leq f m g \quad \Rightarrow \quad a_c \leq f g$
将 $a_c = \frac{M r}{m \left( r^2 + \rho_c^2 \right)}$ 代入：
$\frac{M r}{m \left( r^2 + \rho_c^2 \right)} \leq f g$
解得力偶矩限制条件：
$M \leq f m g \cdot \frac{r^2 + \rho_c^2}{r}$