题目

求线性方程组 } x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 1 x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 3x_4 = 1 的通解。(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)。

求线性方程组 $\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\ x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 1 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 3x_4 = 1 \end{cases}$ 的通解。 (要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)。

题目解答

答案

我们来解这个线性方程组： $$ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \quad \text{(1)} \\ x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 1 \quad \text{(2)} \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 3x_4 = 1 \quad \text{(3)} \end{cases} $$ --- ### 第一步：写出增广矩阵 将方程组写成增广矩阵形式： $$ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 3 & 1 \\ \end{array} \right] $$ --- ### 第二步：高斯消元法化简 #### 1. 第三行减去第一行： $$ R_3 \leftarrow R_3 - R_1 $$ $$ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ \end{array} \right] $$ #### 2. 第三行减去第二行： $$ R_3 \leftarrow R_3 - R_2 $$ $$ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right] $$ --- ### 第三步：回代求通解 现在我们有： $$ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\ x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 1 \\ \end{cases} $$ 这是一个有**两个方程、四个未知数**的系统，所以有两个自由变量。 我们选择 $ x_3 = s $，$ x_4 = t $ 为自由变量（因为它们没有被主元变量控制）。 --- ### 第四步：用自由变量表示主变量 从第二个方程： $$ x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 1 \Rightarrow x_2 = 1 - 2x_3 - 2x_4 = 1 - 2s - 2t $$ 从第一个方程： $$ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \Rightarrow x_1 = -x_2 - x_3 - x_4 $$ 代入 $ x_2 $： $$ x_1 = -(1 - 2s - 2t) - s - t = -1 + 2s + 2t - s - t = -1 + s + t $$ --- ### 第五步：写出通解 将解写成向量形式： $$ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + s + t \\ 1 - 2s - 2t \\ s \\ t \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} $$ --- ### 最终答案： 通解为： $$ \boxed{ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \quad (s, t \in \mathbb{R}) } $$ 其中： - $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ 是一个**特解**； - $\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 是导出组的基础解系。

解析

考查要点：本题主要考查线性方程组的通解求解，涉及增广矩阵的化简、自由变量的选取、特解与齐次解的构造等核心知识点。

解题思路：

  1. 化简增广矩阵：通过高斯消元法将方程组转化为阶梯形矩阵，确定主元和自由变量。
  2. 求特解：固定自由变量为特定值（如0），解出主变量，得到非齐次方程组的一个特解。
  3. 求齐次解：解对应的齐次方程组，找到基础解系。
  4. 组合通解：将特解与齐次解的线性组合表示为通解。

破题关键：

  • 正确选择自由变量：未被主元控制的变量作为自由变量。
  • 基础解系的线性无关性：确保齐次解的向量组线性无关且数目正确。

第一步：写出增广矩阵

将方程组写成增广矩阵形式：
$\left[ \begin{array}{cccc|c}1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\1 & 2 & 3 & 3 & 1 \\\end{array} \right]$

第二步：高斯消元法化简

  1. 第三行减去第一行：
    $R_3 \leftarrow R_3 - R_1$
    得到：
    $\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ \end{array} \right]$

  2. 第三行减去第二行：
    $R_3 \leftarrow R_3 - R_2$
    得到：
    $\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]$

第三步：回代求通解

化简后的方程组为：
$\begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 1\end{cases}$
自由变量：$x_3 = s$，$x_4 = t$。

第四步：用自由变量表示主变量

  1. 从第二个方程解$x_2$：
    $x_2 = 1 - 2s - 2t$
  2. 从第一个方程解$x_1$：
    $x_1 = -1 + s + t$

第五步：写出通解

通解为：
$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \quad (s, t \in \mathbb{R})$