题目
(2017.22)求过点 (1,2,1) 且与两直线 L_(1):(x-3)/(1)=(y+2)/(-2)=(z+1)/(-3), L_(2):(x)/(0)=(y)/(1)=(z)/(1) 平行的平面方程.
(2017.22)求过点 $(1,2,1)$ 且与两直线 $L_{1}:\frac {x-3}{1}=\frac {y+2}{-2}=\frac {z+1}{-3},\quad L_{2}:\frac {x}{0}=\frac {y}{1}=\frac {z}{1}$ 平行的平面方程.
题目解答
答案
本题考查平面方程的求。
由题意得，直线${L}_{1}$的方向向量为$\overrightarrow{{s}_{1}}=\left(1,-2,-3\right)$，直线${L}_{2}$的方向向量为$\overrightarrow{{s}_{2}}=\left(0,1,1\right)$，则所求平面的法向量为$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{{s}_{1}}\times \overrightarrow{{s}_{2}}=\left(1,-1,1\right)$，又因为平面过点$\left(1,2,1\right)$，所以所求平面方程为$\left(x-1\right)-\left(y-2\right)+\left(z-1\right)=0$，即$x-y+z=0$.
由题意得，直线${L}_{1}$的方向向量为$\overrightarrow{{s}_{1}}=\left(1,-2,-3\right)$，直线${L}_{2}$的方向向量为$\overrightarrow{{s}_{2}}=\left(0,1,1\right)$，则所求平面的法向量为$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{{s}_{1}}\times \overrightarrow{{s}_{2}}=\left(1,-1,1\right)$，又因为平面过点$\left(1,2,1\right)$，所以所求平面方程为$\left(x-1\right)-\left(y-2\right)+\left(z-1\right)=0$，即$x-y+z=0$.
解析
步骤 1：确定直线 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 的方向向量
直线 $L_{1}$ 的方向向量为 $\overrightarrow{s_{1}} = (1, -2, -3)$，直线 $L_{2}$ 的方向向量为 $\overrightarrow{s_{2}} = (0, 1, 1)$。
步骤 2：计算平面的法向量
平面的法向量 $\overrightarrow{n}$ 可以通过两个方向向量的叉乘得到，即 $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{s_{1}} \times \overrightarrow{s_{2}}$。
步骤 3：计算叉乘结果
$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{s_{1}} \times \overrightarrow{s_{2}} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(1) - (-3)(1)) - \mathbf{j}((1)(1) - (-3)(0)) + \mathbf{k}((1)(1) - (-2)(0)) = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(1) = (1, -1, 1)$。
步骤 4：确定平面方程
平面方程的一般形式为 $Ax + By + Cz + D = 0$，其中 $(A, B, C)$ 是平面的法向量，即 $(1, -1, 1)$。因为平面过点 $(1, 2, 1)$，所以可以代入点的坐标求出 $D$ 的值。
步骤 5：代入点的坐标求 $D$
$1(1) - 1(2) + 1(1) + D = 0$，即 $1 - 2 + 1 + D = 0$，解得 $D = 0$。
直线 $L_{1}$ 的方向向量为 $\overrightarrow{s_{1}} = (1, -2, -3)$，直线 $L_{2}$ 的方向向量为 $\overrightarrow{s_{2}} = (0, 1, 1)$。
步骤 2：计算平面的法向量
平面的法向量 $\overrightarrow{n}$ 可以通过两个方向向量的叉乘得到，即 $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{s_{1}} \times \overrightarrow{s_{2}}$。
步骤 3：计算叉乘结果
$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{s_{1}} \times \overrightarrow{s_{2}} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(1) - (-3)(1)) - \mathbf{j}((1)(1) - (-3)(0)) + \mathbf{k}((1)(1) - (-2)(0)) = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(1) = (1, -1, 1)$。
步骤 4：确定平面方程
平面方程的一般形式为 $Ax + By + Cz + D = 0$，其中 $(A, B, C)$ 是平面的法向量，即 $(1, -1, 1)$。因为平面过点 $(1, 2, 1)$，所以可以代入点的坐标求出 $D$ 的值。
步骤 5：代入点的坐标求 $D$
$1(1) - 1(2) + 1(1) + D = 0$，即 $1 - 2 + 1 + D = 0$，解得 $D = 0$。