题目
15.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为-|||-f(x,y)= |Xleqslant dfrac {1)(2)} .
题目解答
答案
解析
步骤 1：求边缘概率密度 $f_x(x)$ 和 $f_y(y)$
- 对于 $f_x(x)$，需要对 $y$ 进行积分，积分区间为 $0$ 到 $2x$。
- 对于 $f_y(y)$，需要对 $x$ 进行积分，积分区间为 $\frac{y}{2}$ 到 $1$。
步骤 2：求 $Z=2X-Y$ 的概率密度 $f_z(z)$
- 使用卷积公式，$f_z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, 2x-z) dx$。
步骤 3：求条件概率 $P\{ X\leqslant \dfrac {1}{2}|X\leqslant \dfrac {1}{2}\}$
- 使用条件概率公式，$P\{ X\leqslant \dfrac {1}{2}|X\leqslant \dfrac {1}{2}\} = \dfrac{P\{ X\leqslant \dfrac {1}{2}, Y\leqslant \dfrac {1}{2}\}}{P\{ X\leqslant \dfrac {1}{2}\}}$。
- 对于 $f_x(x)$，需要对 $y$ 进行积分，积分区间为 $0$ 到 $2x$。
- 对于 $f_y(y)$，需要对 $x$ 进行积分，积分区间为 $\frac{y}{2}$ 到 $1$。
步骤 2：求 $Z=2X-Y$ 的概率密度 $f_z(z)$
- 使用卷积公式，$f_z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, 2x-z) dx$。
步骤 3：求条件概率 $P\{ X\leqslant \dfrac {1}{2}|X\leqslant \dfrac {1}{2}\}$
- 使用条件概率公式，$P\{ X\leqslant \dfrac {1}{2}|X\leqslant \dfrac {1}{2}\} = \dfrac{P\{ X\leqslant \dfrac {1}{2}, Y\leqslant \dfrac {1}{2}\}}{P\{ X\leqslant \dfrac {1}{2}\}}$。