题目
[题目]设函数f x)在 (-infty ,+infty ) 上有定义,在区间-|||-[0,2]上, (x)=x((x)^2-4), 若对任意的x都满足-|||-(x)=kf(x+2), 其中k为常数.-|||-(1)写出f(x)在 [ -2,0] 上的表达式;-|||-(Ⅱ)问k为何值时,f (x)在 x=0 处可导.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求f(x)在[-2,0]上的表达式
当 $x\in [ -2,0] $ 时, $x+2\in [ 0,2] $ , 而 f(x)=kf(x+2) ,且在区间[0,2]上,有: $f(x)=x({x}^{2}-4)$ . 在 $x+2\in \{ 0,2\} $ 上, $f(x+2)=(x+2)[ {(x+2)}^{2}-4] $ . $\therefore f(x)=kf(x+2)$ $=k(x+2)[ {(x+2)}^{2}-4] $ =kx(x+2)(x+4) $x\in [ -2,0] $
步骤 2：求f(x)在x=0处的左导数
由(1)知 $x\in \{ -0,0\} $ 时, f(x)=kx(x+2)(x+4) . $\therefore f(0)=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x-0}=$
步骤 3：求f(x)在x=0处的右导数
又区间[0,2]上, $f(x)=x({x}^{2}-4)$ $\therefore {f}_{+}(0)=\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {f(x)-f(0)}{x-0}=$ $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x({x}^{2}-4)}{x}=-4$
步骤 4：求k的值
要使f(x)在 x=0 处可导, 必有: $f(0)=f(0)$ , 即: 8k=-4 $\therefore k=-\dfrac {1}{2}$ , 从而当 $|k=-\dfrac {1}{2}|$ 时,f(x)在 $x=0.$ 处可导.
当 $x\in [ -2,0] $ 时, $x+2\in [ 0,2] $ , 而 f(x)=kf(x+2) ,且在区间[0,2]上,有: $f(x)=x({x}^{2}-4)$ . 在 $x+2\in \{ 0,2\} $ 上, $f(x+2)=(x+2)[ {(x+2)}^{2}-4] $ . $\therefore f(x)=kf(x+2)$ $=k(x+2)[ {(x+2)}^{2}-4] $ =kx(x+2)(x+4) $x\in [ -2,0] $
步骤 2：求f(x)在x=0处的左导数
由(1)知 $x\in \{ -0,0\} $ 时, f(x)=kx(x+2)(x+4) . $\therefore f(0)=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x-0}=$
步骤 3：求f(x)在x=0处的右导数
又区间[0,2]上, $f(x)=x({x}^{2}-4)$ $\therefore {f}_{+}(0)=\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {f(x)-f(0)}{x-0}=$ $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x({x}^{2}-4)}{x}=-4$
步骤 4：求k的值
要使f(x)在 x=0 处可导, 必有: $f(0)=f(0)$ , 即: 8k=-4 $\therefore k=-\dfrac {1}{2}$ , 从而当 $|k=-\dfrac {1}{2}|$ 时,f(x)在 $x=0.$ 处可导.