双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠F1NF2=(3)/(5)，则C的离心率为（　　）A. ((sqrt(5)))/(2)B. (3)/(2)C. ((sqrt(13)))/(2)D. ((sqrt(17)))/(2)

解：当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），

设过F₁的切线与圆D：x²+y²=a²相切于点P，
则|OP|=a，OP⊥PF₁，又|OF₁|=c，
所以PF₁=$\sqrt{O{{F}_{1}}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=b，
过点F₂作F₂Q⊥MN于点Q，
所以OP∥F₂Q，又O为F₁F₂的中点，
所以|F₁Q|=2|PF₁|=2b，|QF₂|=2|OP|=2a，
因为cos∠F₁NF₂=$\frac{3}{5}$，∠F₁NF₂＜$\frac{π}{2}$，所以sin∠F₁NF₂=$\frac{4}{5}$，
所以|NF₂|=$\frac{Q{F}_{2}}{sin∠{F}_{1}N{F}_{2}}$=$\frac{5a}{2}$，则|NQ|=|NF₂|•cos∠F₁NF₂=$\frac{3a}{2}$，
所以|NF₁|=|NQ|+|F₁Q|=$\frac{3a}{2}$+2b，
由双曲线的定义可知|NF₁|-|NF₂|=2a，
所以$\frac{3a}{2}$+2b-$\frac{5a}{2}$=2a，可得2b=3a，即$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{2}$，
所以C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{9}{4}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
情况二：当直线与双曲线交于一支时，
如图，记切点为A，连接OA，则|OA|=a，|F₁A|=b，

过F₂作F₂B⊥MN于B，则|F₂B|=2a，因为cos∠F₁NF₂=$\frac{3}{5}$，所以|NF₂|=$\frac{5a}{2}$，|NB|=$\frac{3a}{2}$，
|NF₂|-|NF₁|=$\frac{5a}{2}$-（$\frac{3a}{2}$-2b）=a+2b=2a，即a=2b，
所以e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，A正确．
故选：AC．