int (x)^2arctan xdx;

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，以及有理分式的积分技巧。
解题思路：

1. 选择分部积分的分解方式：将被积函数拆分为两个函数的乘积，选择arctan x作为u，x² dx作为dv，因为arctan x的导数形式简单，且x²的积分容易计算。
2. 处理剩余积分：分部积分后得到的剩余积分需要通过分式分解简化，将高次分式拆分为多项式与简单分式的组合，便于逐项积分。
   关键点：正确选择u和dv，以及分式分解的技巧是解题的核心。

分部积分法应用

1. 设定变量：
   设 u = arctan x，则 du = \dfrac{1}{1+x^2} dx；
   设 dv = x^2 dx，则 v = \dfrac{1}{3}x^3。
2. 分部积分公式：
   $\int x^2 \arctan x \, dx = \dfrac{1}{3}x^3 \arctan x - \dfrac{1}{3} \int \dfrac{x^3}{1+x^2} dx$

分式分解与积分

1. 简化分式：
   将分式拆分为多项式与简单分式：
   $\dfrac{x^3}{1+x^2} = x - \dfrac{x}{1+x^2}$
2. 逐项积分：
   $\int \dfrac{x^3}{1+x^2} dx = \int x \, dx - \int \dfrac{x}{1+x^2} dx$
   • 第一项：
     $\int x \, dx = \dfrac{1}{2}x^2$
   • 第二项：
     设 u = 1+x^2，则 du = 2x dx，得：
     $\int \dfrac{x}{1+x^2} dx = \dfrac{1}{2} \ln(1+x^2)$

合并结果

将所有部分代入原式，整理后得到最终结果。